دیتانەی پیتاگۆرس

لە ئینسایکڵۆپیدیای ئازادی ویکیپیدیاوە
باز بدە بۆ: ڕێدۆزی، گەڕان
بە گوێرەی دیتانەی پیتاگۆرس، ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەوەستاوی (a وb) یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێی (c).
Rtriangle.svg

دیتانەی پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: Pythagorean theorem) لە زانستی ئەندازە و بۆشاییی ئیقلیدسی بەشێکە لە ڕێسای گشتی یاسای کۆساینەکان، لە کاتێکدا کە گۆشەی نێوان دوو لا لە لایەکانی سێگۆشەیەک ۹۰ پلەیە. پیتاگۆرس بیرکاریزانی یۆنانی بەو دیتانەیە ناوبانگی دەرکرد کە هەر سێ لایەکانی سێگۆشەی وەستاو بەیەکەوە دەبەستێت، واتە ئەگەر a و b دوو لای سێگۆشەیەکی وەستاو بێت و c ژێیەکەی بێت دیتانەی پیتاگۆرس بەم شێوەیەی خوارەوە دەنووسرێت

ئەمەش مانای ئەوەیە کە دووجای ژێ یەکسانە بە سەرجەمی دووجای دوو لایەکەی تر.

یاسای کۆساینەکان دەڵێت کە ئەگەر a و b دوو ئاڕاستەبڕ (یا هێڵ) بن کە لە سەری O گۆشەی A پێک بێنن، هاوکێشەی پاسادانە.

هەر کات گۆشەی A نەوەد پلە بێت، ئەنجامی سیفر دەکات و بە دانانی بەهاکەی هەروەک دیارە پەیوەندی پیتاگۆرس بە شێوەی بەدەست دێت. ئیقلیدس پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرسی سەلماند، واتە ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک هاوکێشەی ساغبکاتەوە، سێگۆشەکە وەستاوە.[١]

شێوەکانی تر[دەستکاری]

  • ئەگەر c درێژایی ژێی سێگۆشەی وەستاو بێت و a و b درێژایی دوو لای تری سێگۆشەکە بن، دیتانەی پیتاگۆرس بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت:
  • ئەگەر بەهای a و b زانراو بێت c بە شێوەی خوارەوە هەژمار دەکرێت:
  • ئەگەر c زانراو و یەکەک لە دوو لای a یا b نەزانراو بن، بەم شێوە هەژمار دەکرێن:

یان

سەلماندن[دەستکاری]

بیرکاریزانەکان گرینگی زۆریان داوە بە دیتانەی پیتاگۆرس و سەلماندنی جۆراوجۆریان لەسەر پێشکەش کردووە. لە کتێبی پێشنیاری پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: The Pythagorean Proposition) نیزیک بە ۳۷۰ سەلماندن بۆ ئەو دیتانە هاتووە.[٢]

سەلماندنی دانتزیگ[دەستکاری]

سەلماندن بە گوێرەی هاوشێوەیی سێگۆشەکان

ئەم سەلماندنە بە گوێرەی ڕێژەی هاوڕێژەیی نێوان دوو سێگۆشەی هاوشێوە شرۆڤە کراوە. بەو واتایە ئەگەر دوو سێگۆشەی هاوشێوەمان هەبێت، ڕێژەی درێژایی دوو لای هاوشێوەی دوو سێگۆشەی هاوشێوە بەهایەکی نەگۆڕە. هەر وەک لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە، وا دابنێ ABCسێگۆشەی وەستاو و C گۆشەوەستاو (۹۰ پلە) بێت. بەرزی سێگۆشەی ABC لە گۆشەی C تا ژێی AB دەکێشینەوە و خاڵی یەکتربڕین بەH دیاری دەکەین. خاڵی H ژێ بە دوو بەشی d و e دابەش دەکات. سێگۆشەی ACH و ABC هاوشێوەن. لەبەر ئەوەی هەر دووک گۆشەیەکی ۹۰ پلەیییان هەیە و لە گۆشەی Aدا هاوبەشن؛ بەو دەرئەنجامە دەگەین گۆشەی سێھەمی θ لە هەردووکاندا یەکسانە (لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە). هەر بەم شێوەیە سێگۆشەی CBH لەگەڵ ABC هاوشێوەیە. کەوایە پەیوەندییەکانی خوارەوە دێتەدی.

ڕێژەی لای چەپی هاوکێشەی چەپ، یەکسانە بە کۆساینی گۆشەی θ و ڕێژەی لای چەپی هاوکێشەی لای ڕاست یەکسانە بە ساینی گۆشەی θ. ئەمە بە شێوەی خوارەوە دەنووسین:

و

ئەگەر دوو هاوکێشەی سەرەوە کۆ بکەینەوە، پەیوەندی خوارەوە دێتەدی:

ئەوە هەمان هاوکێشەی پیتاگۆرسە:

ئەم شێوە سەلماندنە بە سەلماندنی دانتزیگ (Dantzig) دەناسرێت، کە بە گوێرەی درێژایییە. پرسیارێک کە لێرە دێتە ئاراوە ئەمەیە کە بۆ ئیقلیدس ئەم شێوە سەلماندنەی بەکار نەهێناوە. گومانێک هەیە، لە شێوەی سەلماندنی دانتزیگدا پێویست بوو بیردۆزی ڕێژەی هاوڕێژەیی بزانین کە ئەوە لە سەردەمی ئیقلیدس باسی لەسەر نەکرابوو.[٣][٤]

سەلماندنی ئیقلیدس[دەستکاری]

سەلماندنی دیتانەی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەمەکانی ئیقلیدس

کورتەیەک لە سەلماندنی دیتانەی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەماکانی ئەندازەی ئیقلیدس: چوارگۆشە گەورەکە بە دوو لاکێشەی لای چەپ و ڕاست دابەش دەکەین. سێگۆشەیەک دەستدەکەوێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری لاکێشەی لای چەپە. سێگۆشەیەکی تریش پێکدێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری چوارگۆشەی لای چەپە. دەتوانین بسەلمێنین ئەم دوو سێگۆشەیە جووتن. کەواتە ڕووبەری چوارگۆشە یەکسانە بە ڕووبەری لاکێشەی لای چەپ. بە هەمان شێوە، دەرئەنجامەکە بۆ لاکێشەی لای ڕاست و چوارگۆشەکەی تریش بەدەست دێت. ئەگەر دوو لاکێشەکە لە پەنای یەک دانێین تا چوارگۆشەیەک لەسەر ژێی سێگۆشە دروست بێت، ئەمە دەردەکەوێت کە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە (چوارگۆشەی سەر ژێ) یەکسانە بە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی تر. وردەکارییەکانی سەلماندنی ئیقلیدس:

وا دابنێ A و B و C سێ گۆشە لە سێگۆشەیەکی وەستاو بن کە گۆشەی A، نەوەد پلەیە. هێڵێکی ستوونی لە گۆشەی A بەسەر ژێی BC دەکێشینەوە و درێژەی پێ دەدەین تا لای خوارەوەی چوارگۆشەی کێشراوەی سەر ژێ ببڕێت. ئەو هێڵە چوارگۆشەی سەر ژێیەکە بە دوو لاکێشە دابەش دەکات، کە هەر یەک لە لاکێشەکان ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشەکانی کێشراوە لەسەر دوو لای گۆشەی Aی هەیە.

لە درێژەی سەلماندنەکە چەن خاڵی خوارەوە گرینگە:

  1. هەرکات دوو لای سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە دوو لای سێگۆشەیەکی تر و گۆشەی نێوان ئەم دوو لایە لە سێگۆشەکە یەکسان بن، ئەوا دوو سێگۆشەکە یەکسان دەبن.
  2. ڕووبەری هەر سێگۆشەیەک نیوەی ڕووبەری چوارلایەکە کە لایەکانی دوو بە دوو لەگەڵ یەک هاوبەرن و بەرزی و بەنکەی یەکسان بە بەرزی و بنکەی سێگۆشەی هەیە.
  3. ڕووبەری لاکێشەیەک یەکسانە بە ئەنجامی لێکدانی دوو لای تەنیشتی لاکێشەکە.
  4. هەر یەک لە دوو چوارگۆشەی سەرەوە پەیوەندی هەیە بە یەکێک لە دوو سێگۆشە جووتبووەکە و هەر یەک لە سێگۆشەکان بە نۆبەی خۆیان پەیوەندیان هەیە لەگەڵ یەکێک لە لاکێشەکانی دروستکەری چوارگۆشە.[٥]


.

درێژەی بابەت

  1. وا دابنێ سێگۆشەی ABC وەستاو بێت کە گۆشەی CAB لەو سێگۆشەیە ۹۰ پلەیە.
  2. لەسەر هەر یەک لە لایەکانی BC و AB و CA، چوارگۆشەکانی CBDE و BAGF و ACIH کێشراوەتەوە.
  3. لە گۆشەی A هێڵێک هاوبەرەی BD و CE دەکێشینەوە؛ ئەو هێڵە بە شێوەی ستوونی BC و DE دەبڕێت، یەکتربڕینی ئەو هێڵانە بە K و L دیاری دەکەین.
  4. سەری گۆشەی C درێژە دەدەین تا F و سەری A دەگەیێنین بە D تا سێگۆشەی BCF و BDA دروستبن.
  5. گۆشەکانی CAB و BAG وەستاون، دەگەینە ئەو دەرئەنجامە کە خاڵەکانی C و A و G لەسەر یەک هێڵن. بە هەمان شێوە دەرئەنجامەکە بۆ خاڵەکانی B و A و H دەردەکەوێت.
  6. گۆشەی CBD و FBA وەستاون. بەو ئەنجامە دەگەین دوو گۆشەی ABD و FBC یەکسانن لەبەر ئەوەی هەردووک یەکسانن بە ئەنجامی کۆکردنەوەی گۆشەیەکی ۹۰ پلەیی و گۆشەی ABC.
  7. AB لەگەڵ FB و BD لەگەڵ BC یەکسانن؛ بەو ئەنجامە دەگەین سێگۆشەی ABD لەگەڵ سێگۆشەی FBC یەکسانە.
  8. A-K-L ڕاستەهێڵێکی هاوبەرە لەگەڵ BD؛ کەواتە BDLK چوارلایەیە بە لایەکانی دوو بە دوو هاوبەرە و ڕووبەرەکەی دوو ئەوەندەی ڕووبەری سێگۆشەی ABD یە؛ لەبەر ئەوەی بنکەی بەرزی BD هاوبەشە لە هەردووکیاندا و بەرزی هەردووکیان درێژاییەکەی یەکسانە بە BK.
  9. لەبەر ئەوەی خاڵی C و دوو خاڵی A و G هەر سێک لەسەر یەک هێڵن، کەواتە دەبێ چوارگۆشەی BAGF ڕووبەری دوو ئەوەندەی ڕووبەری سێگۆشەی FBCی ببێت.
  10. دەتوانین بەو ئەنجامە بگەین ڕووبەری لاکێشەی BDLK و چوارگۆشەی BAGF یەکسانن و ئەندازەیان یەکسانە بە AB۲.
  11. بە هەمان شێوە دەتوانین بسەلمێنین لاکێشەی CKLE ڕووبەرەرەکەی یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی ACIH و دەکاتە AC۲.
  12. بە کۆکردنەوەی ئەو دوو ئەنجامە لەگەڵ یەک هاوکێشەی AB۲ + AC۲ = BD × BK + KL × KC
  13. لەبەر ئەوەی BD = KL و BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. لەبەر ئەوەی CBDE یەک چوارگۆشەیە کەواتە AB۲ + AC۲ = BC۲

ئەو سەلماندنە لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس، لە دەسپێکی پێشنیاری ۴۷ لە کتێبی ۱ هاتووە[٦] و ئەوە دەردەخات کە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەی وەستاو یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێ.[٧] سەلماندنی ئیقلیدس، به پێچەوانەی سەلماندنی دانتزیگ سەلماندنێکە بە شێوەی ڕووبەری نە درێژایی. ئەو شێوە سەلماندنە لەگەڵ سەلماندنی پیتاگۆرس کە بە گوێرەی لێکچواندنی سێگۆشەکانە جیاوازی هەیە.[٤][٨]

سەلماندنی جەبری[دەستکاری]

وێنەی سەلماندنی جەبری.

دیتانەی پیتاگۆرس دەتوانین بە لە قەراغ یەک دانانی چوار سێگۆشەی گۆشەوەستاوی یەکسان بە لاکانی a و b و c لە ناو چوارگۆشەیەک کە لاکانی c یە بە شێوەی جەبری بسەلمێنین.[٩]

سێگۆشەکان یەکسانن و ڕووبەرەکەیان یەکسانە بە چوارگۆشە بچووکەکە لایەکی یەکسانە بە b-a و ڕووبەرەکەی ۲ (b−a)یە کەوایە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە یەکسانە بە

لاکانی چوارگۆشە سەرەکییەکە یەکسانە بە c و ڕووبەرەکەی دەکاتە ۲ c و دەرئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت:

هەر وەک لە خوارەوەی وێنەکە دیارە، سەلماندنێکی تر هەیە کە بە کەڵک وەرگرتن لە دانانی چوار سێگۆشەی یەکسان بە دەوری چوارگۆشەیەک کە لاکانی cیە بە ئەنجام دەگات.[١٠] بەو کارە چوارگۆشەیەکی گەورەتر بە لای (a+b) و ڕووبەری ۲ (a+b) بەدەست دێت. چوار سێگۆشە و چوارگۆشەکە بە لای یەکسان بە c ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکەی هەیە.

لای چەپی هاوکێشە جێبەجێ دەکەین ئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت

سەلماندن بە شێوەی جیاکاری[دەستکاری]

یەکێکی تر لە ڕێگاکانی سەلماندنی پیتاگۆرس کەڵکوەرگرتن لە هەژماری جیاکاری و تەواوکارییە واتە دەمانەوێت بزانین بە گۆڕینی درێژایی یەکێک لە لاکانی سێگۆشەکە، درێژایی ژێ چەندە دەگۆڕێت.[١١][١٢]ئەو شێوە سەلماندنە لە سەلماندنی دانتزیگ دەچێت، واتە درێژایی دەپێوی نەک ڕووبەر.

پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرس[دەستکاری]

دەتوانین پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرس بسەلمێنین.[١٣]

ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک واتە a و b و c هاوکێشەی a۲ + b۲ = c۲ ساغبکاتەوە، ئەوا سێگۆشەکە وەستاوە.

لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس (کتێبی یەکەم، پێشنیاری ۴۸)[١٤]

بە واتایەکی تر ئەگەر درێژی هەر سێ لای a و b و c لە سێگۆشەیەک هاوکێشەی a۲ + b۲ = c۲ پاسادان بکات ئەوا گۆشەی نێوان لاکانی a و b نەوەد پلەیە.

هەر کات دووجای یەکێک لە لاکانی سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو لای تری سێگۆشە ئەوا گۆشەی نێوان ئەو دوو لایەی سێگۆشەکە وەستاوە.

بە گوێرەی یاسای کۆساینەکان دەتوانین پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرس شیکاری بکەین.

ژمارەی پیتاگۆرسی[دەستکاری]

ژمارەی پیتاگۆرسی بریتین لە سێ ژمارە کە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو دانەیان یەکسان بێت بە دووجای سێھەمی، بە واتایەکی تر سێ ژمارەی a و b و c ژمارەی پیتاگۆرسین هەرکات پاسادانی a۲ + b۲ = c۲ بکەن. سێ ژمارەی پیتاگۆرسی لاکانی سێگۆشەیەکی وەستاو دروست دەکەن. بە پێی لێکۆڵینەوەکان وا دەرکەوتووە دانیشتوانی باکووری ئەورووپا پێش ناسینی ژمارەی پیتاگۆرسی، ئەو ژمارانەیان بۆ پێکھێنانی بەناکانیان بەکار هێناوە. نموونەیەک لەو ژمارانەی زۆر بەکار هاتوون بریتین لە (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳). لە خوارەوە ژمارەکانی پیتاگۆرسی چوکەتر لە ١٠٠ پێرست کراون.

(٣، ٤، ٥)،(٦٬٨٬١٠)، (٥، ١٢، ١٣)، (٧، ٢٤، ٢٥)، (٨، ١٥، ١٧)، (٩، ٤٠، ٤١)، (١١، ٦٠، ٦١)، (١٢، ٣٥، ٣٧)، (١٣، ٨٤، ٨٥)، (١٦، ٦٣، ٦٥)، (٢٠، ٢١، ٢٩)، (٢٨، ٤٥، ٥٣)، (٣٣، ٥٦، ٦٥)، (٣٦، ٧٧، ٨٥)، (٣٩، ٨٠، ٨٩)، (٤٨، ٥٥، ٧٣)، (٦٥، ٧٢، ٩٧)، (١٦٩٬١٢٠٬١١٩)

بۆچوونی ماتماتیکزانان سەبارەت بە دیتانەی پیتاگۆرس[دەستکاری]

یۆهانس کێپلەر دەڵێت ئەندازە دوو گەنجی گەورەی هەیە، یەکیان دیتانەی پیتاگۆرسە، ئەوەی تریان دابەشکردنی هێڵێک بە بێپایان ڕێژەی ناوەندی. یەکەمینیان لەگەڵ زێڕ بەراورد دەکرێت و دووهەمینیان گەوهەرێکی بە نرخە.[١٥]

سەرچاوەکان[دەستکاری]

  1. ^ Carl B. Boyer, A history of mathematics, page 108, 1991
  2. ^ (Loomis ۱۹۶۸)
  3. ^ (Maor ۲۰۰۷, p. ۳۹) http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=
  4. ^ a b Stephen W. Hawking (۲۰۰۵). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia: Running Press Book Publishers. p. ۱۲. ISBN ۰۷۶۲۴۱۹۲۲۹ Check |isbn= value (یارمەتی). 
  5. ^ See for example Mike May S.J. , Pythagorean theorem by shear mapping, Saint Louis University website Java applet
  6. ^ Elements 1.47 by Euclid. Retrieved 19 December 2006.
  7. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 47: web page version using Java applets from Euclid's Elements by Prof. David E. Joyce, Clark University
  8. ^ The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see (Maor ۲۰۰۷, p. ۲۵) page 25
  9. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3". Cut the Knot. وەرگیراوە لە 4 November 2010. 
  10. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4". Cut the Knot. وەرگیراوە لە 4 November 2010. 
  11. ^ Mike Staring (۱۹۹۶). "The Pythagorean proposition: A proof by means of calculus". Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) ۶۹ (February): ۴۵–۴۶. JSTOR ۲۶۹۱۳۹۵. doi:۱۰٫۲۳۰۷/۲۶۹۱۳۹۵ Check |doi= value (یارمەتی).  More than one of |number= لەگەڵ |issue= specified (یارمەتی) (An abbreviated version of this proof is in the second half of Proof #40 Archived ٢٩ی حوزەیرانی ٢٠١٦, at the Wayback Machine. at Bogomolny, Alexander. "Pythagorean Theorem". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Alexander Bogomolny. ئەرشیڤ کراوە، نووسراوەی سەرەکی لە ٦ی تەممووزی ٢٠١٠. وەرگیراوە لە ۲۰۱۰-۰۵-۰۹.  Archived version May 8, 2010.)
  12. ^ Proof #40 Archived ٢٩ی حوزەیرانی ٢٠١٦, at the Wayback Machine. also summarizes a differential proof by Michael Hardy: «Pythagoras Made Difficult». Mathematical Intelligencer, 10 (3), p.  31, 1988. Although not listed in this journal's table of contents and without a doi, this article can be found at the end of the unrelated article by Bruce C. Berndt (۱۹۸۸). "Ramanujan—100 years old (fashioned) or 100 years new (fangled)?". The Mathematical Intelligencer ۱۰: ۲۴. doi:10.1007/BF03026638. 
  13. ^ Judith D. Sally, Paul Sally (۲۰۰۷-۱۲-۲۱). "Theorem 2.4 (Converse of the Pythagorean Theorem).". Cited work. p. ۶۲. ISBN ۰۸۲۱۸۴۴۰۳۲ Check |isbn= value (یارمەتی). 
  14. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 48 From D.E. Joyce's web page at Clark University
  15. ^ Carl B. Boyer, A history of mathematics, page ۵۰, ۱۹۹۱