دیتانەی پیتاگۆرس

لە ئینسایکڵۆپیدیای ئازادی ویکیپیدیاوە
باز بدە بۆ: ڕێدۆزی، گەڕان
بە گوێرەی دیتانەی پیتاگۆرس، ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەوەستاوی (a وb) یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێی (c).
Rtriangle.svg

دیتانەی پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: Pythagorean theorem) لە زانستی ئەندازە و بۆشاییی ئیقلیدسی بەشێکە لە ڕێسای گشتی یاسای کۆساینەکان، لە کاتێکدا کە گۆشەی نێوان دوو لا لە لایەکانی سێگۆشەیەک ٩٠ پلەیە. پیتاگۆرس بیرکاریزانی یۆنانی بەو دیتانەیە ناوبانگی دەرکرد کە ھەر سێ لایەکانی سێگۆشەی وەستاو بەیەکەوە دەبەستێت، واتە ئەگەر a و b دوو لای سێگۆشەیەکی وەستاو بێت و c ژێیەکەی بێت دیتانەی پیتاگۆرس بەم شێوەیە:

ئەمەش مانای ئەوەیە کە دووجای ژێ یەکسانە بە سەرجەمی دووجای دوو لایەکەی تر.

یاسای کۆساینەکان دەڵێت کە ئەگەر a و b دوو ئاڕاستەبڕ (یا ھێڵ) بن کە لە سەری O گۆشەی A پێک بێنن، ھاوکێشەی پاسادانە.

ھەر کات گۆشەی A نەوەد پلە بێت، ئەنجامی سیفر دەکات و بە دانانی بەھاکەی ھەروەک دیارە پەیوەندی پیتاگۆرس بە شێوەی بەدەست دێت. ئیقلیدس پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرسی سەلماند، واتە ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک ھاوکێشەی ساغبکاتەوە، سێگۆشەکە وەستاوە.[١]

شێوەکانی تر[دەستکاری]

  • ئەگەر c درێژایی ژێی سێگۆشەی وەستاو بێت و a و b درێژایی دوو لای تری سێگۆشەکە بن، دیتانەی پیتاگۆرس بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت:
  • ئەگەر بەھای a و b زانراو بێت c بە شێوەی خوارەوە ھەژمار دەکرێت:
  • ئەگەر c زانراو و یەکەک لە دوو لای a یا b نەزانراو بن، بەم شێوە ھەژمار دەکرێن:

یان

سەلماندن[دەستکاری]

بیرکاریزانەکان گرینگی زۆریان داوە بە دیتانەی پیتاگۆرس و سەلماندنی جۆراوجۆریان لەسەر پێشکەش کردووە. لە کتێبی پێشنیاری پیتاگۆرس (بە ئینگلیزی: The Pythagorean Proposition) نیزیک بە ٣٧٠ سەلماندن بۆ ئەو دیتانە ھاتووە.[٢]

سەلماندنی دانتزیگ[دەستکاری]

سەلماندن بە گوێرەی هاوشێوەیی سێگۆشەکان

ئەم سەلماندنە بە گوێرەی ڕێژەی ھاوڕێژەیی نێوان دوو سێگۆشەی لێکچوو شرۆڤە کراوە. بەو واتایە ئەگەر دوو سێگۆشەی لێکچوومان ھەبێت، ڕێژەی درێژایی دوو لای ھاوشێوەی دوو سێگۆشەی لێکچوو بەھایەکی نەگۆڕە. ھەر وەک لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە، وا دابنێ ABCسێگۆشەی وەستاو و C گۆشەوەستاو (٩٠ پلە) بێت. بەرزی سێگۆشەی ABC لە گۆشەی C تا ژێی AB دەکێشینەوە و خاڵی یەکتربڕین بەH دیاری دەکەین. خاڵی H ژێ بە دوو بەشی d و e دابەش دەکات. دوو سێگۆشەی ACH و ABC لە یەک ئەچن. لەبەر ئەوەی ھەر یەکەی گۆشەیەکی ٩٠ پلەیییان ھەیە و لە گۆشەی Aدا ھاوبەشن؛ بەو دەرئەنجامە دەگەین گۆشەی سێھەمی θ لە ھەردووکاندا یەکسانە (لە وێنەی بەرامبەر ڕوون کراوەتەوە). ھەر بەم شێوەیە سێگۆشەی CBH و ABC لە یەک ئەچن. کەوایە پەیوەندییەکانی خوارەوە دێتەدی.

ڕێژەی لای چەپی ھاوکێشەی چەپ، یەکسانە بە کۆساینی گۆشەی θ و ڕێژەی لای چەپی ھاوکێشەی لای ڕاست یەکسانە بە ساینی گۆشەی θ. ئەمە بە شێوەی خوارەوە دەنووسین:

و

ئەگەر دوو ھاوکێشەی سەرەوە کۆ بکەینەوە، پەیوەندی خوارەوە دێتەدی:

ئەوە ھەمان ھاوکێشەی پیتاگۆرسە:

ئەم شێوە سەلماندنە بە سەلماندنی دانتزیگ (Dantzig) دەناسرێت، کە بە گوێرەی درێژایییە. ئەم سەلمێنراوە لە مێژووی زانستدا ڕۆڵێکی گرینگی ھەیە. پرسیارێک کە لێرە دێتە ئاراوە ئەمەیە کە بۆ ئیقلیدس ئەم شێوە سەلماندنەی بەکار نەھێناوە و لە ڕێگەیەکی تر بۆی چووە. پێویستە بزانین، لە شێوەی سەلماندنی دانتزیگدا دەبێت ئاگاداری بیردۆزی ھاوڕێژەیی ببین کە ئەوە لە سەردەمی ئیقلیدس باسی لەسەر نەکرابوو.[٣][٤]

سەلماندنی ئیقلیدس[دەستکاری]

سەلماندنی دیتانەی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەمەکانی ئیقلیدس

کورتەیەک لە سەلماندنی دیتانەی پیتاگۆرس لە کتێبی بنەماکانی ئەندازەی ئیقلیدس: چوارگۆشە گەورەکە بە دوو لاکێشەی لای چەپ و ڕاست دابەش دەکەین. سێگۆشەیەک دروست دەبێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری لاکێشەی لای چەپە. سێگۆشەیەکی تریش پێکدێت کە ڕووبەرەکەی نیوەی ڕووبەری چوارگۆشەی لای چەپە. دەتوانین بسەلمێنین ئەم دوو سێگۆشەیە جووتن. کەواتە ڕووبەری چوارگۆشە یەکسانە بە ڕووبەری لاکێشەی لای چەپ. بە ھەمان شێوە، دەرئەنجامەکە بۆ لاکێشەی لای ڕاست و چوارگۆشەکەی تریش بەدەست دێت. ئەگەر دوو لاکێشەکە لە پەنای یەک دانێین تا چوارگۆشەیەک لەسەر ژێی سێگۆشە دروست بێت، ئەمە دەردەکەوێت کە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە (چوارگۆشەی سەر ژێ) یەکسانە بە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی تر. وردەکارییەکانی سەلماندنی ئیقلیدس:

وا دابنێ A و B و C سێ گۆشە لە سێگۆشەیەکی وەستاو بن کە پێوانەی گۆشەی A، نەوەد پلەیە. ھێڵێکی ئەستوون لە گۆشەی A بەسەر ژێی BC دەکێشینەوە و درێژەی پێ دەدەین تا لای خوارەوەی چوارگۆشەی کێشراوەی سەر ژێ ببڕێت. ئەو ھێڵە چوارگۆشەی سەر ژێیەکە بە دوو لاکێشە دابەش دەکات، کە ھەر یەک لە لاکێشەکان ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشەکانی کێشراوە لەسەر دوو لای گۆشەی Aی ھەیە.

لە درێژەی سەلماندنەکە چەن خاڵی خوارەوە گرینگە:

  1. ھەرکات دوو لای سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە دوو لای سێگۆشەیەکی تر و گۆشەی نێوان ئەم دوو لایە لە سێگۆشەکە یەکسان بن، ئەوا دوو سێگۆشەکە یەکسان دەبن.
  2. ڕووبەری ھەر سێگۆشەیەک نیوەی ڕووبەری چوارلایەکە کە لایەکانی دوو بە دوو لەگەڵ یەک ھاوبەرن و بەرزی و بەنکەی یەکسان بە بەرزی و بنکەی سێگۆشەی ھەیە.
  3. ڕووبەری لاکێشەیەک یەکسانە بە ئەنجامی لێکدانی دوو لای تەنیشتی لاکێشەکە.
  4. ھەر یەک لە دوو چوارگۆشەی سەرەوە پەیوەندی ھەیە بە یەکێک لە دوو سێگۆشە جووتبووەکە و ھەر یەک لە سێگۆشەکان بە نۆبەی خۆیان پەیوەندیان ھەیە لەگەڵ یەکێک لە لاکێشەکانی دروستکەری چوارگۆشە.[٥]


.

درێژەی بابەت

  1. وا دابنێ سێگۆشەی ABC وەستاو بێت کە پێوانەی گۆشەی CAB لەو سێگۆشەیە ٩٠ پلەیە.
  2. لەسەر ھەر یەک لە لایەکانی BC و AB و CA، چوارگۆشەکانی CBDE و BAGF و ACIH کێشراوەتەوە.
  3. لە گۆشەی A ھێڵێک ھاوبەرەی BD و CE دەکێشینەوە؛ ئەو ھێڵە ئەستوونە لەسەر BC و DE، یەکتربڕینی ئەو ھێڵانە بە K و L دیاری دەکەین.
  4. سەری گۆشەی C درێژە دەدەین تا F و سەری A دەگەیێنین بە D تا سێگۆشەی BCF و BDA دروستبن.
  5. گۆشەکانی CAB و BAG وەستاون، دەگەینە ئەو دەرئەنجامە کە خاڵەکانی C و A و G لەسەر یەک ھێڵن. بە ھەمان شێوە دەرئەنجامەکە بۆ خاڵەکانی B و A و H دەردەکەوێت.
  6. گۆشەی CBD و FBA وەستاون. بەو ئەنجامە دەگەین دوو گۆشەی ABD و FBC یەکسانن لەبەر ئەوەی ھەردووک یەکسانن بە ئەنجامی کۆکردنەوەی گۆشەیەکی ٩٠ پلەیی و گۆشەی ABC.
  7. AB لەگەڵ FB و BD لەگەڵ BC یەکسانن؛ بەو ئەنجامە دەگەین سێگۆشەی ABD لەگەڵ سێگۆشەی FBC یەکسانە.
  8. A-K-L ڕاستەھێڵێکی ھاوبەرە لەگەڵ BD؛ کەواتە BDLK چوارلایەیە بە لایەکانی دوو بە دوو ھاوبەرە و ڕووبەرەکەی دوو ئەوەندەی ڕووبەری سێگۆشەی ABD یە؛ لەبەر ئەوەی بنکەی بەرزی BD ھاوبەشە لە ھەردووکیاندا و بەرزی ھەردووکیان درێژاییەکەی یەکسانە بە BK.
  9. لەبەر ئەوەی خاڵی C و دوو خاڵی A و G ھەر سێک لەسەر یەک ھێڵن، کەواتە دەبێ چوارگۆشەی BAGF ڕووبەری دوو ئەوەندەی ڕووبەری سێگۆشەی FBCی ببێت.
  10. دەتوانین بەو ئەنجامە بگەین ڕووبەری لاکێشەی BDLK و چوارگۆشەی BAGF یەکسانن و ئەندازەیان یەکسانە بە AB2.
  11. بە ھەمان شێوە دەتوانین بسەلمێنین لاکێشەی CKLE ڕووبەرەرەکەی یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی ACIH و دەکاتە AC2.
  12. بە کۆکردنەوەی ئەو دوو ئەنجامە لەگەڵ یەک ھاوکێشەی AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC
  13. لەبەر ئەوەی BD = KL و BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. لەبەر ئەوەی CBDE یەک چوارگۆشەیە کەواتە AB2 + AC2 = BC2

ئەو سەلماندنە لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس، لە دەسپێکی پێشنیاری ٤٧ لە کتێبی ١ ھاتووە[٦] و ئەوە دەردەخات کە ئەنجامی کۆکردنەوەی ڕووبەری دوو چوارگۆشەی سەر دوو لای گۆشەی وەستاو یەکسانە بە ڕووبەری چوارگۆشەی سەر لای ژێ.[٧] سەلماندنی ئیقلیدس، بە پێچەوانەی سەلماندنی دانتزیگ سەلماندنێکە بە شێوەی ڕووبەری نە درێژایی. ئەو شێوە سەلماندنە جیاوازە لەگەڵ سەلماندنی پیتاگۆرس کە بە گوێرەی لێکچوونی سێگۆشەکانە.[٤][٨]

سەلماندنی جەبری[دەستکاری]

وێنەی سەلماندنی جەبری.

دیتانەی پیتاگۆرس دەتوانین بە لە قەراغ یەک دانانی چوار سێگۆشەی گۆشەوەستاوی یەکسان بە لاکانی a و b و c لە ناو چوارگۆشەیەک کە لاکانی c یە بە شێوەی جەبری بسەلمێنین.[٩]

سێگۆشەکان یەکسانن و ڕووبەرەکەیان یەکسانە بە چوارگۆشە بچووکەکە لایەکی یەکسانە بە b-a و ڕووبەرەکەی 2 (b−a)یە کەوایە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکە یەکسانە بە

لاکانی چوارگۆشە سەرەکییەکە یەکسانە بە c و ڕووبەرەکەی دەکاتە 2 c و دەرئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت:

ھەر وەک لە خوارەوەی وێنەکە دیارە، سەلماندنێکی تر ھەیە کە بە کەڵک وەرگرتن لە دانانی چوار سێگۆشەی یەکسان بە دەوری چوارگۆشەیەک کە لاکانی cیە بە ئەنجام دەگات.[١٠] بەو کارە چوارگۆشەیەکی گەورەتر بە لای (a+b) و ڕووبەری 2 (a+b) بەدەست دێت. چوار سێگۆشە و چوارگۆشەکە بە لای یەکسان بە c ڕووبەری یەکسان بە ڕووبەری چوارگۆشە گەورەکەی ھەیە.

لای چەپی ھاوکێشە جێبەجێ دەکەین ئەنجامی خوارەوە بەدەست دێت

سەلماندن بە شێوەی جیاکاری[دەستکاری]

یەکێکی تر لە ڕێگاکانی سەلماندنی پیتاگۆرس کەڵکوەرگرتن لە ھەژماری جیاکاری و تەواوکارییە واتە دەمانەوێت بزانین بە گۆڕینی درێژایی یەکێک لە لاکانی سێگۆشەکە، درێژایی ژێ چەندە دەگۆڕێت.[١١][١٢]ئەو شێوە سەلماندنە لە سەلماندنی دانتزیگ دەچێت، واتە درێژایی دەپێوی نەک ڕووبەر.

سەلماندن بە شێوەی ڕیزکردن[دەستکاری]

سەلماندن لە ڕێگەی ڕیزکردنەوەی چوار سێگۆشەی وەستاوی یەکسان
ئەنیمەیشنی سەلماندن لە ڕێگەیەکی جیاواز [١٣]
Pythagorean theorem rearrangement.svg

پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرس[دەستکاری]

دەتوانین پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرس بسەلمێنین.[١٤]

ئەگەر درێژی لایەکانی سێگۆشەیەک واتە a و b و c ھاوکێشەی a2 + b2 = c2 ساغبکاتەوە، ئەوا سێگۆشەکە وەستاوە.

لە کتێبی بنەماکانی ئیقلیدس (کتێبی یەکەم، پێشنیاری ٤٨)[١٥]

بە واتایەکی تر ئەگەر درێژی ھەر سێ لای a و b و c لە سێگۆشەیەک ھاوکێشەی a٢ + b٢ = c٢ پاسادان بکات ئەوا گۆشەی نێوان لاکانی a و b نەوەد پلەیە.

ھەر کات دووجای یەکێک لە لاکانی سێگۆشەیەک یەکسان بێت بە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو لای تری سێگۆشە ئەوا گۆشەی نێوان ئەو دوو لایەی سێگۆشەکە وەستاوە.

بە گوێرەی یاسای کۆساینەکان دەتوانین پێچەوانەی دیتانەی پیتاگۆرس شیکاری بکەین.

ژمارەی پیتاگۆرسی[دەستکاری]

ژمارەی پیتاگۆرسی بریتین لە سێ ژمارە کە ئەنجامی کۆکردنەوەی دووجای دوو دانەیان یەکسان بێت بە دووجای سێھەمی، بە واتایەکی تر سێ ژمارەی a و b و c ژمارەی پیتاگۆرسین ھەرکات پاسادانی a٢ + b٢ = c٢ بکەن. سێ ژمارەی پیتاگۆرسی لاکانی سێگۆشەیەکی وەستاو دروست دەکەن. بە پێی لێکۆڵینەوەکان وا دەرکەوتووە دانیشتوانی باکووری ئەورووپا بەرلەوەی دیتانەی پیتاگۆرس بناسن، ئەو ژمارانەیان بۆ پێکھێنانی بەناکانیان بەکار ھێناوە. نموونەیەک لەو ژمارانەی زۆر بەکار ھاتوون بریتین لە (٣، ٤، ٥) و (٥، ١٢، ١٣). لە خوارەوە ژمارەکانی پیتاگۆرسی چوکەتر لە ١٠٠ پێرست کراون.

(٣، ٤، ٥)،(٦٬٨٬١٠)، (٥، ١٢، ١٣)، (٧، ٢٤، ٢٥)، (٨، ١٥، ١٧)، (٩، ٤٠، ٤١)، (١١، ٦٠، ٦١)، (١٢، ٣٥، ٣٧)، (١٣، ٨٤، ٨٥)، (١٦، ٦٣، ٦٥)، (٢٠، ٢١، ٢٩)، (٢٨، ٤٥، ٥٣)، (٣٣، ٥٦، ٦٥)، (٣٦، ٧٧، ٨٥)، (٣٩، ٨٠، ٨٩)، (٤٨، ٥٥، ٧٣)، (٦٥، ٧٢، ٩٧)، (١٦٩٬١٢٠٬١١٩)

بۆچوونی ماتماتیکزانان سەبارەت بە دیتانەی پیتاگۆرس[دەستکاری]

یۆھانس کێپلەر دەڵێت ئەندازە دوو گەنجی گەورەی ھەیە، یەکیان دیتانەی پیتاگۆرسە، ئەوەی تریان دابەشکردنی ھێڵێک بە بێپایان ڕێژەی ناوەندی. یەکەمینیان لەگەڵ زێڕ بەراورد دەکرێت و دووھەمینیان گەوھەرێکی بە نرخە.[١٦]

سەرچاوەکان[دەستکاری]

  1. ^ Carl B. Boyer, A history of mathematics, page 108, 1991
  2. ^ (Loomis ١٩٦٨)
  3. ^ (Maor ٢٠٠٧, p. ٣٩) http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=
  4. ^ a b Stephen W. Hawking (٢٠٠٥). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia: Running Press Book Publishers. پەڕە ١٢. ISBN 0762419229. 
  5. ^ See for example Mike May S.J. , Pythagorean theorem by shear mapping, Saint Louis University website Java applet
  6. ^ Elements 1.47 by Euclid. Retrieved 19 December 2006.
  7. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 47: web page version using Java applets from Euclid's Elements by Prof. David E. Joyce, Clark University
  8. ^ The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see (Maor ٢٠٠٧, p. ٢٥) page 25
  9. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3". Cut the Knot. لە ڕێکەوتی ٠٤ تشرینی دووەم ٢٠١٠ ھێنراوە. 
  10. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4". Cut the Knot. لە ڕێکەوتی ٠٤ تشرینی دووەم ٢٠١٠ ھێنراوە. 
  11. ^ Mike Staring (1996). "The Pythagorean proposition: A proof by means of calculus". Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 69 (February): 45–46. JSTOR 2691395. doi:10.2307/2691395.  پارامەتری |number= و |issue= زیاتر لە یەک جار دووبارە بۆتەوە (یارمەتی) (An abbreviated version of this proof is in the second half of Proof #40 Archived ٢٩ی حوزەیرانی ٢٠١٦, at the Wayback Machine. at Bogomolny، Alexander. "Pythagorean Theorem". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Alexander Bogomolny. لە ڕەسەنەوە ئرشیڤ کراوە لە ٦ی تەممووزی ٢٠١٠. لە ڕێکەوتی ٢٠١٠-٠٥-٠٩ ھێنراوە.  بەستەرە دەرەکییەکان لە |work= (یارمەتی) Archived version May 8, 2010.)
  12. ^ Proof #40 Archived ٢٩ی حوزەیرانی ٢٠١٦, at the Wayback Machine. also summarizes a differential proof by Michael Hardy: «Pythagoras Made Difficult». Mathematical Intelligencer, 10 (3), p.  31, 1988. Although not listed in this journal's table of contents and without a doi, this article can be found at the end of the unrelated article by Bruce C. Berndt (١٩٨٨). "Ramanujan—100 years old (fashioned) or 100 years new (fangled)?". The Mathematical Intelligencer. ١٠: ٢٤. doi:10.1007/BF03026638. 
  13. ^ Alexander Bogomolny. "Pythagorean Theorem, proof number 10". Cut the Knot. لە ڕێکەوتی ٢٧ شوبات ٢٠١٠ ھێنراوە. 
  14. ^ Judith D. Sally, Paul Sally (٢٠٠٧-١٢-٢١). "Theorem 2.4 (Converse of the Pythagorean Theorem).". Cited work. پەڕە ٦٢. ISBN 0821844032. 
  15. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 48 From D.E. Joyce's web page at Clark University
  16. ^ Carl B. Boyer, A history of mathematics, page ٥٠, ١٩٩١

بەستەرە دەرەکییەکان[دەستکاری]