تەواوکاری

تەواوکاری یان ئینتێگراڵ (بە ئینگلیزی: Integral) یەکێکە لە دوو ژێربابەتی سەرەکی بیرکاری و لەگەڵ چەمکی گرتە ھەژماری جیاکاری و تەواوکاری پێک دێنن. یەکەمین جار لایبنیتس ھێمایەکی ستانداردی بۆ تەواوکاری پێناسە کرد. ئەگەر $f$ فانکشنێکی بەردەوام بێت و $a$ و $b$ دوو بەھای بوارەکەی بن ئەوا تەواوکاریی سنووردار بۆ فانکشنی $f$ لە نێوان $a$ و $b$ بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

بە $a$ دەوترێت نزمترین ڕادەی تەواوکاری و $b$ بەرزترین ڕادەی تەواوکاری، $f(x)$ فانکشنی بابەتی تەواوکارییە و $dx$ ھێمایەکە بۆ دیاریکردنی گۆڕەکی تەواوکاری.

تەواوکاریی بێسنوور

دۆزینەوەی فانکشنی بنەڕەت بۆ فانکشنێکی دیاریکراو وەکوو $f(x)$ کردارێکە پێچەوانەی گرتە، تەواوکاریی بێسنوور بۆ فانکشنی $f(x)$ دەبێتە فانکشنی بنەڕەتی ئەو فانکشنە. ھەر بۆیە ھەندێک جار تەواوکاری بە دژەگرتە ناو دەبەن. لەم تێبینییەوە دەردەچێت لە ڕێساکانی گرتە، ڕێساکانی تەواوکاریی بێسنوور بەرھەم دەھێنرێن. ئەوانەی لە بواری بیرکاری کار دەکەن ھێمای $\int {f(x)}.dx$ بەکاردەھێنن کە ئەنجامەکەی یەکسانە بە $F(x)+c$. لێرەدا بە$F(x)$ کە توانای گرتەی ھەیە دەوترێت فانکشنی بنەڕەتی فانکشنی $f(x)$

$\int {f(x)}.dx=F(x)+c$

کەواتە

$F'(x)=f(x)\Leftrightarrow \int {f(x)}.dx=F(x)+c$

نموونە: بەھای تەواوکاریی فانکشنی $f(x)={\sqrt {x}}+2x^{2}-8$ دەکاتە:

$\int {f(x)}.dx=\int {(x^{\frac {1}{2}}+2x^{2}-8)}.dx=\int {x^{\frac {1}{2}}}.dx+2\int {x^{2}}.dx-8\int {dx}={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C$

$\Rightarrow \int {f(x)}.dx={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C$

تەواوکاریی سنووردار

تەواوکاری سنوورداری فانکشنی f.

بەپێی پێناسەی تەواوکاری ھێمای $\int _{a}^{b}f(x).dx$ بۆ تەواوکاریی سنووردار بەکاردەھێنرێت و ئەنجامەکەی بۆ ھەر $a<x<b$ ژمارەیەکە بەم شێوە:

$\int _{a}^{b}f(x).dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

تایبەتمەندییەکانی تەواوکاری

• ئەگەر $n$ ژمارەیەکی ڕاستەقینە بێت و $f$ لە ماوەی $[a,b]$ توانای تەواوکاری ھەبێت ئەوا

$\int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx$

• ئەگەر فانکشنی $f$ لە ماوەی $[a,b]$ توانای تەواوکاری ھەبێت ئەوا:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx$

و ئەگەر $b>a$ ئەوا:

$|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

• ئەگەر $c\in [a,b]$ و فانکشنی $f$ لە ماوەی $[a,b]$ توانای تەواوکاری ھەبێت ئەوا

$\int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx$

• ئەگەر f لە ماوەی $[a,b]$ توانای تەواوکاری ھەبێت و$f(x)\geq 0$ ئەوا:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0$

• ئەگەر دوو فانکشنی $f_{1},f_{2}$ لە ماوەی $[a,b]$ توانای تەواوکارییان ھەبێت و فانکشنی $f_{1}\pm f_{2}$ لە ماوەی $[a,b]$ توانای تەواوکارییان ھەبێت ئەوا

$\int _{a}^{b}(f_{1}\pm f_{2})(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx\,\pm \int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx$

لێکدانەوەی ئەندازەیی تەواوکاری

لە ڕوانگەی ئەندازەیییەوە تەواوکاری بریتییە لە ھەژمارکردنی ڕووبەری ناوچەی سنووردراو بە ڕوونکردنەوەی فانکشن و تەوەری $x$ و دوو ھێڵی $a$ =$x$ و $b$ =$x$.

نموونە

تەواوکاریی فانکشنێکی ئەرێنی بەردەوام لە ماوەی (٠٬١٠) یەکسانە بە ھەژمارکردنی ڕووبەری سنووردراو نێوان ھێڵی x=0 و x=١٠ و کەوانەی چەماوەی $f_{x}$. a و b خاڵی سەرەتا و کۆتایی ماوەکەنە و f فانکشنێکە توانای تەواوکاری ھەیە و dx ھێمایەکە بۆ دیاریکردنی گۆڕەکی تەواوکاری.

گرینگترین پێناسەکانی تەواوکاری

Integral example with irregular partitions (largest marked in red)

Riemann sums converging

تەواوکاریی ڕیمان و تەواوکاریی لێبێگ بە دوو پێناسە لە پێناسە ھەرە گرینگەکانی تەواوکاری دادەنرێن. بێرنارد ڕیمان لە ساڵی ١٨٥٤ ئەم پێناسەیەی داھێنا و بە وردی ڕوونی کردەوە. ھێنری لێبێگ پێناسەی دووھەمی خستەڕوو. ھەروەھا پێناسەیەکی گرینگی تر لە بواری تەواوکاریدا بریتییە لە تەواوکاریی ڕیمان-ئێستیلتێس.

ھەژمارکردنی تەواوکاری

بەهای نزیکراوەی تەواوکاریی فانکشنی √x لە نێوان ٠ و ١,ڕووبەری ناوچەکە نزیکدەکەینەوە بە بەکارهێنانی دوو کۆمەڵە لاکێشە، ٥ ■  (زەرد) و 12 ■  (سەوز) یەکەمیان بە ڕوونکردنەوەکە دەوردراوە و دووەمیان بە دەوری ڕوونکردنەوەکەی.

تیۆرمی بنەڕەتی ژمێرەی جیاکاری و تەواوکاری بنچینەی زۆربەی ڕێگاکانی شیکاریی تەواوکارییە، بە گوێرەی ئەو دیتانە سێ مەرجی خوارەوە دێتەدی.

1. وا دابنێ f فانکشنێک بێت لە ماوەی کراوەی (a,b).
2. دژگرتەی f دەدۆزینەوە کە فانکشنێکە وەکوو f.
3. بە پشتبەستن بە تیۆرمی بنەڕەتی ژمێرەی جیاکاری و تەواوکاری

بەھای تەواوکاری ھەژمار دەکرێت. تێبینی ئەوە دەکەین تەواوکاری بە گشتی بە دژەگرتە پێناسە ناکرێت. (ژمارەیەکە). بەڵام تیۆرمی بنەڕەتی ژمێرەی جیاکاری و تەواوکاری ڕێگای ئەوەمان پێ دەدات لە دژەگرتە بۆ شیکاریی ئەنجامی تەواوکاری کەڵکوەرگرین. دۆزینەوەی دژەگرتە واتە دۆزینەوەی فانکشنی بنەڕەت کارێکی ئاسان نییە. لە خوارەوە چەندین تکنیک بۆ ئاسانکردنەوەی ھەژماری تەواوکاری پێناسە کراون بریتینە لە:

• وتاری سەرەکی: تەواوکاری بە بەشکردن

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

• تەواوکاری بە گۆڕینی گۆڕەک

بۆ بەکارھێنانی ڕێسای تەواوکاری بە لەجیاتیدانانی گۆڕەک سوود لە گرتەی فانکشنی ئاوێتە وەردەگرین، بە بەکارھێنانی ڕێگای لایبنیتس ئەگەر $u=g(x)$، ئەوا $du=g'(x)dx$ لەمەوە دەردەچێت

$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)du\,$

• تەواوکاری بە گۆڕینی گۆڕەکی سێگۆشەیی

شێوەی نزیکراوی ھەژمارکردنی تەواوکاری سنووردار

یەکێک لە ڕێگاکانی ھەژمارکردنی تەواوکاری شێوەی لاکێشەییە. سەرجەمی ڕووبەری لاکێشەکان دەکاتە بەھای نزیکەیی ڕووبەری ناوچەکە، ھەر چەند ژمارەی لاکێشەکان زیاد بکات، سەرجەمی ڕووبەرەکانیان لە ڕووبەری ناوچەکە زیاتر نزیکدەبێتەوە. چونکە ڕووبەری ئەو ناوچەیە کەوتۆتە نێوان ڕوونکردنەوەی فانکشنەکە و لاکێشەکان تا دێت بچووک دەبێتەوە. بە دەستەواژەیەکی تر بە زیادبوونی ژمارەی لاکێشەکان، سەرجەمی ڕووبەرەکان نیزیک دەبێتەوە لە ڕووبەری سنووردراو بە ڕوونکردنەوەی فانکشن و تەوەری $x$ و دوو ھێڵی $a$= $x$ و $b$=$x$. بۆ دەستکەوتنی ڕووبەری ناوچەکە پێویستە ڕادەی سەرجەمی ڕووبەری لاکێشەکان بدۆزینەوە کاتێک ژمارەی لاکێشەکان بە بەردەوامی زیاد دەکات.

Darboux sums

Darboux upper sums of the function y = x^٢

Darboux lower sums of the function y = x^٢

تەواوکاریی ھێڵی

وتاری سەرەکی: تەواوکاریی ھێڵی

تەواوکاریی ھێڵی بە تەواوکاریی فانکشنێک لە درێژایی چەماوەیەکدا دەوترێت.

جێبەجێکردنەکانی تەواوکاری

تەواوکاریی بریتییە لە ھەژمارکردنی ڕووبەری سنووردراوی ژێر چەماوە و لە زانستی فیزیکدا گرنگی و جێبەجێکردنی زۆری ھەیە، بۆ نموونە لە ھەژمارکردنی کار لە داینامیکە گەرمیدا، بە کەلکوەرگرتن لە تەواوکاری دەتوانرێت پەیوەندیی پەستان و قەبارە بدۆزرێتەوە.

ئەمانەش ببینە

• تەواوکاریی چەندجارە

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «انتگرال»، ویکیپیدیای فارسی. سەردان لە ١١ی ئازاری ٢٠١٨.

• بیرکاری ١٢ - کتێبی قوتابی، بڵاوکار: کۆمپانیای جیۆپرۆجێکتس