گریمانەی ڕیمان

بەشی ڕاستەقینە (سوور) و بەشی خەیاڵی (شین) فانکشنی زیتای ڕیمان $\zeta (s)$ لە ھێڵی شلۆقی $\Re (s)=1/2\,$ یەکەم ڕەگە ناسادەکان لە $\Im (s)=\pm 14,135,\pm 21,022\,$ in $\pm 25,011\,$ دەبینرێن.

لە بیرکاریدا، گریمانەی ڕیمان (بە ئینگلیزی: Riemann hypothesis) یان مەزندەی ڕیمان، مەزندەیەکە سەبارەت بە ڕەگەکانی فانکشنی زیتای ڕیمان. بەپێی ئەم مەزندەیە، بەشی ڕاستەقینەی ڕەگە ناسادە یان نادیارەکانی (non-trivial) ئەم فانکشنە دەکاتە $1/2$. ئەم مەزندەیە لەلایەن بێرنارد ڕیمان لە ساڵی ۱۸۵۹ پێشنیار کرا و بەناوی خۆیەوە ناسراوە. ھەژمارکردنی ڕەگەکانی ئەم فانکشنە بە بەکارھێنانی کۆمپیوتەر دەریخستووە ڕەگە سەرەتاییەکانی ئەم فانکشنە ھەتا ١٠ تریلیۆن بەشە ڕاستەقینەکەیان دەکاتەوە $\Re =1/2$. ماتماتیکزانان پێیان وایە ئەم مەزندەیە یەکێک لە گرینگترین پرسیارەکانی بیرکارییە. مەزندەی ڕیمان و ھەندێک لە گشتیکردنەکانی ئەم گریمانەیە، لەگەڵ مەزندەی گۆڵدباخ و ژمارە سەرەتاییە دوانەکان بەشێکن لە پرسیاری ھەشتەمی ھیلبێرت لە پێرستی ٢٣ کێشە شی نەکراوەکەی ھیلبێرتدا. مەزندەی ڕیمان یەکێکە لە کێشەکانی ھەزارە و لەلایەن ڕێکخراوەی ماتماتیکی کلای خەڵاتێکی یەک ملیۆن دۆلاری دیاری کراوە بۆ ئەو کەسەی ئەم مەزندەیە بسەلمێنیت. دەیڤد ھیلبێرت سەبارەت بەم مەزندەیە دەڵێت: «ئەگەر لە خەوێکی ھەزار ساڵەیی ھەستم لەوانەیە یەکەم پرسیارم ئەمە بێت: ئایا مەزندەی ڕیمان سەلمێندراوە؟»

فانکشنی زیتای ڕیمان

فانکشنی زیتای ڕیمان $\zeta (s)$ بۆ ھەموو ژمارە ئاوێتەکان جگە لە ١ پێناسە دەکرێت و بەھایەکانی ئەم فانکشنە ژمارەی ئاوێتەن. ڕەگەکانی فانکشنی زیتای ڕیمان ژمارە تەواوە جووتە نەرێنییەکانن. بە دەستەواژەیەکی تر کاتێک …، $s=-2n=-2,-4,-6,\ldots \,$، ئەوا $\zeta (s)$ دەکاتە سیفر. بەم ڕەگانە دەوترێت ڕەگە سادە یان ڕەگە دیارەکانی (trivial) فانکشنی زیتای ڕیمان، بەڵام ئەم فانکشنە ڕەگی ناسادە یان نادیاریشی ھەیە، کە بەپێی مەزندەی ڕیمان بەشە ڕاستەقینەکەی ئەم ڕەگە نادیارانە یەکسانە بە ٠٫٥. بە واتایەکی تر ئەگەر گریمانەی ڕیمان ڕاست بێت، ھەموو ڕەگە نادیارەکان دەکەونە سەر ھێڵێکی شلۆق کە یەکسانە بە ژمارەی ئاوێتەی $it+1/2$ لێرەدا $t$ ژمارەیەکی ڕاستەقینە و $i$ بریتییە لە یەکەی خەیاڵی. ڕێسای فانکشنی زیتای ڕیمان بۆ ژمارە ئاوێتەکان $s$ بەم شێوەیە:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$

لیۆنارد ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٣٠ ئەم زنجیرەیەی بۆ ژمارە ڕاستەقینەکان شی کردەوە و سەلماندی بەھای ئەم زنجیرەیە یەکسانە بە ئەنجامی لێکدانی ئۆیلەر:

$\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots$

گریمانەی ڕیمان باس لەو ڕەگانە دەکات کە لە دەرەوەی ناوچەی لێکنزیکبوونەوەی ئەم زنجیرەیە و ئەنجامی لێکدانی ئۆیلەرە. بۆ ئەوەی گریمانەکە واتایەکی مەعقووڵی ھەبێت، پێویستە شیکارانە درێژە بەم فانکشنە بدرێت تا شێوەیەک بەدەست بێت کە بۆ ھەموو $s$ـێکی ئاوێتە ڕاست بێت.