لیۆنارد ئۆیلەر

لیۆنارد ئۆیلەر

لیۆنارد ئۆیلەر زانایەکی سویسڕییە لە ١٥ ی نیسانی ١٧٠٧ز لە دایک بووە لە شاری بازلی سویس، و کۆچی دوایشی کردووە لە ١٨ ی ئەیلوولی ١٧٨٣ لە سەنت پیتەرزبورگ، زانایەکی بواری فیزیک و بیرکارییە. جێمس کارفل لە پەیمانگای زانستەکان لە نیوکاسڵ دەڵێت: (لیۆنارد ئۆیلەر) زانای بیرکاری سویسرییە، ئەندامی ئەکادیمیای زانستەکان بووە لە سانت بتروسبۆرگ، لیۆنارد ئۆلەر لە سویسرا لە نیسانی ساڵی ١٧٠٧ز لەدایک بووە، باوکی پیاوێکی کاڵفامی مەزھەب بووە کە یەکێکە لەو مەزھەبە نەمرانەی دەڵێت: قەدەری مرۆڤەکان نەخشەی بۆ کێشراوە پێش لەدایکبوونیان و بەھیچ شێوەیەک ناتوانرێت ئەو قەدەرە بگۆڕدرێت ، ھەروەھا باوکی یەکێک بووە لەو کەسانەی کە ئارەزوی زۆری لە بیرکاری بووە ، لیۆنارد لە ماڵی خۆیان و لەسەر دەستی باوکی فێری خوێندن بووە تا ساڵی ١٧٢٣ کاتێک چووە زانکۆی بازڵ کە تیایدا وانەکانی لاھوت و زمانە ڕۆژھەڵاتییەکان و زانستی کاری – ئەندامەکان (کارئەندامزانی) و فسیۆلۆژی و ماتماتیکی خوێندووە. لە سەرەتادا لیۆنارد بە قوڵی گرنگ بەشوێن ھەنگاوەکانی باوکی و ئاواتی ئەوەوە بوو بۆئەوەی لە پاشەڕۆژدا ببێت بە وەزیری کاروباری ئاینی، بەڵام ئەوە بوو لەکۆتاییدا بیرکاری ھەڵبژارد وەکو پیشەیەک بە درێژایی ژیانی، ئەوە بوو ھەر لە سەرەتاوە بەھرەیەکی زۆرجوانی تیادا بەدی دەکرا کەمێک دوای تەواوبوونی لە زانکۆ کە ئەو ھێشتا تەمەن بیست ساڵ بوو ، کاترینی شاژنی قەیسەری بانگھێشتی کرد بۆ ئەوەی لە سانت بتروسبۆرگ بمێنێتەوە وەک مامۆستایەکی بیرکاری لە دەوڵەتەکەی کار بکات و یەکەم چاوپێکەوتنی لەوێ لەگەڵ زانا دانیاڵ برنۆڵی ، برنۆڵی توانی وا لە ئۆلەلر بکات وەکو مامۆستایەکی بیرکاری لە سانت بتروسبۆرگ بمێنێتەوە لە ساڵی ١٧٣٣ و لە ساڵی ١٧٤١ ( فریدریک)ی گەورەی ئەڵمانی ھەستا بە بانگھێشتکردنی بۆ بەرلین ، توانی تیایدا گەورەترین کارەکانی بەرھەم بھێنێت لەماوەی ئەو ٢٥ ساڵەی دوایی ، بۆزانینی قەبارەکانی ئەگەر تەنھا ناوی بابەتە زانستییەکانی بنووسین ئەوا پڕ بە کتێبێکی بچوک دەبێت ، لە ساڵی ١٧٣٥ کاتێک ئۆیلەرلە سانت بتروسبۆرگ دەژیا یەکێک لە چاوەکانی لەدەست دا و دوای (٥) ساڵ لە گەڕانەوەی بۆ سانت بتروسبۆرگ جارێکی تر لە ساڵی١٧٦٦ بەتەواوی ئۆیلەر چاوەکانی لەدەست چوو ، بەڵام ئەمانە ھیچی نەبووە ھۆی ئەوەی کە ئەم زانا بیرکارییە بەتوانایە ساردبکەنەوە و بەڵکو بەردەوەم بوو لەکارەکانیدا ئەویش بەھۆی دوان لە یارمەتیدەرەکانییەوە کە یارمەتیان دەدا لە تەواوکردنی کارەکانی ، بەو شێوەیە توانی (٤٠٠) کاری ماتماتیکی بەرھەم بھێنێت پێش ئەوەی بمرێت. ئارپەر کتلمان میژوونووسی بەناوبانگی بیرکاری دەڵێت : (لیۆنارد ئۆیلەر زانای سویسری لە ساڵی ١٧٠٧ لەدایک بووە و لە ساڵی ١٧٨٣ کۆچی دوایی کردووە و زیاترین بەرھەمی ھەبوو لە ھەر زانایەکی تر ، بەجۆرێک کۆی کارەکانی نزیک دەبێتەوە لە (١٠٠) کتێبی گەورە و چەندین دۆزینەوەی گەورەی ئەنجام داوە . ھەرچەندە لە حەڤدە ساڵی کۆتایی ژیانی نابینا بووە، ئەکادیمییە پاشاییەکان و زانکۆکان سەنتەری سەرەکی بوون بۆ لێکۆڵینەوەکان لە ئەوروپا لە ساڵەکانی (١٧٠٠)ەکان ، یەکێک لەو ئەکـادیمیانە لبینتز دایمەزرانـد یەکەمیان ئەکادیمیای بەرلین بوو کە (فردریک) گەورە لە بروسیا پاڵپشتی بوو و ئەوی تر ئەکادیمیای سانت بتروسبۆرگ کە کاترینی گەورە لە ڕوسیا پاڵپشتی بوو ، کە بەشێوەیەکی جوان ڕێزی لەو بیرکار و پسپۆڕ و زانایانە دەگرت کە ھەڵدەستان بە لێکۆڵینەوەکانیان و پێشانی دەسەڵاتداران دەدرا بەشێوەیەکی پڕ ڕێز و ھەیبەت بۆ خزموتکردنی دەوڵەت. ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٢٧ چوو بۆ سانت بتروسبۆرگ بۆ بەشی لێکۆڵینەوە سروشتییەکان لە ئەکادیمیایە ،لەبەر ئەوەی بەشی ماتماتیک لە ئەکادیمیاکەدا ھێشتا نەکرابووە و بەھەر جۆرێک بێت ئۆیلەر توانی خۆی بگوێزێتەوە بۆ بەشی ماتماتیک دوای کردنەوەی بەشەکە ڕاستەوخۆ ئۆیلەر توانایەکی لە ڕادەبەدەری ھەبوو بەڕاستی زانا بوو لە داڕشتنی ھاوکێشەکاندا ھەروەکو دەبینرێت لە زۆربەی کتێبەکانیدا ، ئۆیلەر زۆر شتی نووسیوە دەربارەی میکانیک و کالکۆلەسی گۆڕان وە ھاوکێشە بنچینەییکانی ئەم بابەتەی داتاشیوە . ئەندازە شیکارییەکەر بەتەواوی ھاوشێوەی ئەندازەی شیکاری نوێیە کتێبەکانی لە کالکۆلۆس (جیاکاری و تەواوکاری) زۆربڵاوە.

کارەکانی ئۆیلەر

ئۆیلەر بەشدارییەکی گەورەی کرد لە ھێما دانانی کالکۆلۆس و ئەم ھێمایانەشی پێشکەش کرد (e,t،i) یاخود (7/22 v-1) Exponential dhk یان e=2.7 1828 18 28 9045 کە e گرینگترین ژمارەیە لە ماتماتیکدا و وە بنچینەیە بۆ پێناسەکردنی لۆگاریتمی سروشتی ln e=1 بەڵێ ئۆیلەر کارێکی وای کرد کە ھەموومان تاکو ئێستا و دواتریش ئەو ھێمایانە بەکار بھێنین ھەروەھا ئۆیلەر توانی ئەم پەیوەندییە سەرسوڕھێنەرە بدۆزێتەوە e=١-. کە داڕێژرابوو لەسەر ئەم ھاوکێشەیە کە دەناسرێت بە پەیوەندی ئۆیلەر : e=cosq+isinq بەو جۆرەی بیرۆکەی نەخشەی (function) شێوازە تایبەتییەکەی خۆی وەرگرت، کە دەرکەوت لە کتێبەکانی ئۆیلەر ، ھەروەھا پێناسەی نەخشەی کرد بەوەی کە وەسفی بڕێکی گۆڕاو دەکات (داڕێژراوە لەسەر پێناسەی بڕنۆلی) بەم جۆرە :‌ y=x+4x3+3 نەخشەیە ھەروەکو چۆن y=1+x+x2+x3+x4+ نەخشەیە . کتێبەکانی ئۆیلەر ژمارەیەکی زۆر بابەتی تێدایە دەربارەی زنجیرە بێ کۆتاییەکان (المتسلسلات لانھائنە) ھەروەھا کۆی ھەڵگەڕاوە دووجاکانی دۆزییەوە ئەو بابەتە بوو کە زانا لینتز و جێمس بڕنۆلی نەیانتوانی شیکاری بۆ بدۆزنەوە کە دەکاتە :T2=١+١+١ . ھەروەھا ئۆیلەر زۆر گرنگی دەدا بە پیرۆزی ژمارەکان ھەروەھا پێچەوانەی بیردۆزی ئیقلیدیسی سەلماند دەربارەی ژمارە تەواوەکان . ئیقلیدیس 300Euclide پ.ز ئەوەی ڕونکردەوە ئەگەر٢-١))ژمارەیەکی تاک بێت ئەوا (٢-١)٢-١ ژمارەیەکی تەواوە (عدد تام) بەڵام ئۆیلەر ئەوەی سەلماند کە ھەموو ژمارە تەواوە جووتەکان لەسەر شێوەی ٢(٢-١) دەبن ئەگەر ٢-١ ژمارەیەکی تاک بێت تاکو نازانرێت کە ئایا ژمارە تەواوەکان یاخود بێگومان لە ژمارە تەواوەکان ھەیە یان نا؟ لە نامەیەکدا بۆ ئۆیلەر کە زانا کۆڵدیاخ (1764-1690) Christion Goldbach نوسیویەتی دەڵێت :ھەموو ژمارەیەکی جووت گەورەترین یان یەکسان بە (e) یەکسانە بە کۆی دوو ژمارەی تاک بۆنمونە : 5+7=١٢ 13+19=٣٢ وە ئەم بیردۆزە تاوەکو ئێستا ھیچ سەلماندنێکی بۆ نەکراوە لە ڕاست و دروستی ! ھەروەھا بابەتێکی دی لەسەر ئەم شێوە کە تا ئێستا شیکاری نەکراوە دەڵێت : ئایا ژمارەیەکی ناکۆتا ھەیە لە جوتێ لە ژمارەی تاکی دوانە (بە دوو ژمارەی تاک دەوترێت دوانە کاتێک جیاوازی نێوانیان ٢ بێت بۆنمونە (١٣،١١) ، (١٩،١٧) ، (٣١،٢٩) . ئۆیلەر بابەتێکی سەرسوڕھێنەری شیکارکرد کە دەناسرێت بە ئەندازەی شوێن (ھندسە الموقع) ئەویش کێشەی حەوت پردەکەی شاری (کۆنیکبەرک) بوو کاتی خۆی لە شاری کۆنیکبەرک حەوت پرد ھەبوو بەھۆی سروشتی ئەو ڕوبارەی کە شارەکەی دەبڕی ، ڕوبارەکە دوو لقی لێ بۆتەوە کە دوو دورگەی دروست کردووە ،پرسیارەکە ئەوەیە ئایا کەسێک دەتوانێت ڕێڕەوێک وەربگرێت بەمەرجێک تەنھا یەکجار بپەڕێتەوە بەسەر ھەر پردێک نەک زیاتر ؟ ئۆیلەر سەلماندی کە ئەمە نابێت (نەشیاوە) و لە ڕاستیدا ئۆیلەر ئەم بابەتەی بەشێوەیەکی گشتی سەلماند و ڕوونی کردەوە بەوەی کە کلیلی شیکارکردنەکە بریتییە ‌لە ژمارەی پارچە وشکانییەکان کە ژمارەیەکی تاک لە پردیان ھەیە ، ئەگەردووپارچە وشکانی ژمارەیەکی تاک لە پردیان ھەبێت ئەوا پەڕینەوە شیاو دەبێت ، بەھەرجۆرێک بێت لە یەکێکیانەوە دەست پێ دەکات و لەویتریانەوە کۆتایی پێ دێت لە شاری کۆنیبەرک ژمارەی پردەکان بۆ ھەر پارچەیەک ژمارەیەکی تاکە لەبەرئەوە پەڕینەوەی ھەموو پردەکان تەنھا یەک جار کارێکی ھەرگیز نابێت ، بەپێی پێوانەی ئۆیلەر ئەگەر پردی (e) مان لابرد ئەوا بۆ ھەردوو پارچە وشکانی (b) و (c) ژمارەیەکی تاک لە پرد دەبێت ئەمەش وادەکات پەڕینەوە شیاو بێت کە دەست پێدەکات لە (b) یاخود (c) و کۆتایی دێت لە (b) یاخود (c) یەک لەدوای یەک . ئەوەی ڕاستییە کارەکانی بیرکارییە یۆنانییە کۆنەکان بەتایبەت کارەکانی ئەبۆلۆنیۆس (سەدەی سێ و دووی پ.ز) ڕێ خۆشکەربوو بۆ دۆزینەوەی ڕێگای پۆتانەکان وە لە ناوەڕاستی سەدەی حەڤدەیەمدا ڕێگای پۆتانەکان چەندین قۆناغی گرنگی بەردەوام و ڕێک و پیێکی بڕی ھەروەکو لە کارەکانی زانا فێرما (١٩٥٥-١٦٠١) و دیکارتی (١٦٦٥-١٥٩٦) دەردەکەوێت ، بەڵام ئەمانە تەنھا بابەتی چەماوە ڕوتەختەکانیان دیراسە دەکرد ، بەڵام ئۆیلەر یەکەم زانا بوو کە ڕێگای پۆتانەکانی بەکارھێنا بۆ دیراسەکردنی ھێڵەکان لە بۆشایی و ڕوتەختەکان ھەروەکو ئاشکرایە کە بابەتی جیاکاری (التفاصنل) بەھۆی پێویستبوونی ڕێگایەکی گشتی بۆ دیاریکردنی ڕووبەر و قەبارە و چەقی قورساییەکان دەرکەوت ، ئەم ڕێگایەش بۆیەکەم جار لە لایەن ئەرخەمێدسەوە (٢١٢-٢٨٧ پ.ز) بەکارھێنراوە بە ڕێک و پێکی لە سەدەی حەڤدەھەمدا پەرەی سەند ھەروەک دەردەکەوێت لە لێکۆڵینەوەکانی زانا بەناوبانگەکانی وەکو : بۆنافینتۆرا کافالێری (١٥٩١-١٦٤٧) ھەروەھا ئیفانجیلستا تۆرشەلی (١٦٠٨-١٦٤٧) کە دوو زانای ئیتاڵی بوون و خوێندکار بوون لەسەر دەرستی گالیلۆ ھەروەھا فێرماو (١٦٠١-١٦٦٥) و باسکاڵ (١٦٢٣-١٦٦٢) و چەندسن زانای تری ئەو سەردەمە و زانا ئیسحاق بارۆق (1630=١٦٧٧) کە زانایەکی ماتماتیکی بەریتانی بوو مامۆستاس نیوتن بوو لە ساڵی ١٦٥٩ ئەو پەیوەندییەی دۆزییەوە کە بابەتی دیاریکردنی ڕوبەر و بابەتی دیاریکردنی لێکەوت پێکەوە دەبەستێتەوە ، ھەروەھا زانا نیوتن (١٦٤٢-١٧٢٧) و لیبنتز (١٦٤٦-١٧١٦) لە حەفتاکانی سەدەی حەڤدەھەمدا بابەتێکیان پێشکەش کرد سەبارەت بە جیاکردنەوەی ئەم پەیوەندییە لەگەڵ بابەتە ئەندازەییە تایبەتییکان ، بەوشێوەیەش پەیوەندی نێوان حیسابکردنی تەواوکاری و حیسابکردنی جیاکاریان دۆزییەوە و ھەریەک لە نیوتن و لینتز و قەتابییەکانیان ئەم پەیوەندییەیان بەکارھێنا بۆ پەرەسەندنی شێوازەکانی جیاکردن ئەو ڕێگایانە کە بۆ جیاکردن ئەنجام دراوە و گەیشتۆتە ئێرە بەھۆی فەزڵی کارەکانی ئۆیلەرەوە بووە و پاشان ھەریەکە لە زانا م.ئوسترو جرادسکی(١٨٠١-١٨٦١) و ب.تشیبیشیف (١٨٢١-١٨٩٤) کە دوو زانای بەناوبانگی ڕوسی بوون ھەستان بە پێشخستنی ئەو ڕێگایە . ھەروەھا ئۆیلەر زانایەک بوو بەجۆرێک کە ھیچ زانایەکی ماتماتیکی دی بەوێنەی نەبوو لە تێگەیشتن لە ھونەری گۆڕین و لەبریدانانی حیسابکردنی جیاکاری و تەواوکاری ، ھەروەھا ئۆیلەر ھەوڵێکی زۆری دا بۆ دۆزینەوەی ڕێگایەکی تر (بێجگە لە سێ ڕێگاکەی نیوتن) بۆ جێبەجێکردنی تەواوکاری جیاکاری دوو ڕادە (تکامل وتفاچل الحدنن) بەڵام لە ئەنجامدا گەیشتە ئەوەی لەوسێ ڕێگایەی نیوتن ھیچ ڕێگایەکی دی نییە ، بەوجۆرە زانا تشیبیشیف لە ساڵێ ١٨٥٣ ڕاستس ئەنجامەکەی ئۆیلەری سەلماند و لە ساڵی ١٩٢٦ ھەریەک لە زانا مۆردوخای بۆلتۆفسکی بیردۆزێکیان سەلماند کە لەم ئەنجامە دەچوو، زانا دانیال بڕنۆلی (١٧٠٠-١٧٨٢) لە ساڵی ١٧٥٣ بیرۆکەی زنجیرە سێگۆشەییەکانی خستە ناو ماتماتیک کاتێک دەستیکرد بە لێکۆڵینەوە لەسەر لەرینەوەی ژێکان و بەھۆی بابەتی توانای کردنەوەی نەخشەیەک لەسەر شێوەی زنجیرە سێگۆشەییەکان چەندین گفتوگۆی توندوتیژ سەریھەڵدا لەنێوان زانا بەناوبانگەکانی ماتماتیک ، لەوکاتەدا ھەروەکو ئۆیلەر و دالامبێر (١٧١٧-١٧٨٣) و لاکرانج (١٧٣٦-١٨١٣) زانا باسکاڵ دەستیکرد بە دیراسەکردنی تەواوی تایبەتمەندییە ئەندازەییەکانی سایکلۆید و ئەنجامەکانی بڵاوکردەوە لە ساڵی ١٦٥٩ . لە چل ساڵی دواییدا بەھۆی کارەکانی زاننا بەناوبانگەکانی وەکو ھوینگز و نیوتن و لیبنتز و براکانی بڕنۆڵی چەندین کارپێکردنی میکانزمی سایکلۆد دیراسە کرا و بابەتی براخیستۆخرۆنا لەسەر شێوە گشتییەکەی یەکێک بوو لە سەرچاوە بنچینەییەکانی لقێکی تازە لە ماتماتیک کە ئەویش حیسابکردنی گۆڕان بوو کە لەسەدەی ھەژدەھەمدا ئۆیلەر و لاکرانج دایانھێنا . ھەروەکو ئاشکرایە ھەرە زانا گەورەکانی سەدەی ھەژدەھەم بەشداریان کرد لە پەرەپێدانی بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییە ئاساییەکان و بەشداریکردنی ئۆیلەر بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییەکانی دەوڵەمەند کرد بە زنجیرەیەک لە دۆزینەوە گرنگەکانی بە پلەی یەکەم ، کە ماددەکانی ئەو ھاوکێشەیەی دەردەھێنا و لە زۆربەی زۆری پرسیارە میکانیکیەکان لەوانە میکانیکی ھەسارە ئاسمانییەکان و زانستی موشەکەکان (ballistics) و ئەدازە و شیکارکردنی بیرکاری ئۆیلەر لە یەکێک لە یاداشتەکانیدا کە ساڵی ١٧٤٣ بڵاوکرایەوە ڕێگایەکی کلاسیکی پێشکەش کرد بۆ شیکارکردنی ھاوکێشەیەکی بەھێڵی چونیەک لە ھەر پلەیەک بێت کە ھاوکۆلکەکانی جێگیربێت بەھۆی لەجیاتیدانانy=eKX لەحاڵەتی ڕەگی ڕاستەقینەی دووبارە بوو بە لەجیاتیدانان eukx لەبریدانانی ھاوشێوەی euax لەحاڵەتی جووتی ڕەگی ئاوێتە a+-Bi بەھۆی ئەم پرسیارەوە گەیشتە ئەم ھاوکێشەیەی شیکار کرد بەشێوەی نەخشە سێگۆشەیی زانراوەکان . وە لە ساڵی ١٧٤٠ ئۆیلەر لەکاتی لێکۆڵینەوەکانی لەسەر یەکێک لەم ھاوکێشانە شیکارکردنی تایبەتی بەدەست ھێنا لەسەر دوو شێوەی جیاواز ex1+ex1،2COSX و تەکیدی لەسەر ھاوتاییان کردەوە بەھۆی کردنەوەکان لە زنجیرەکان ئەمەش گەیاندییە دۆزینەوەی ئە پەیوەندییە بەناوبانگەی کە دەناسرێت و پێیدەوترێت (پەیوەندی ئۆیلەر) و ئۆیلەر ھەر لە و یاداشتنامەی دا ئاماژەی بەوە کرد کە شیکارکردنی ھاوکێشەیەک لە پلەی (N) پێکدێت لە پێکھاتەی بەھێڵ لە ‌(N) لە شیکارکردنە تایبەتەکەی ، ھەروەھا زاراوە یشیکاری تایبەت و شیکاری گشتی (ھاوکێشەی تەواوکاری تەواو) ھێنایە ناو ماتماتیکەوە ، دوای ١٠ ساڵ ئۆیلەر ڕێگای شیکارکردنی ھاوکێشەی بەھێڵی ناچوونیەکی کۆلکە جێگیرەکانی بڵاوکردەوە بەھۆی کەمکردنەوەی پلەکەی بەشێوەیەکی یەک لەدوای یەک ،بۆنمونە : بە لێکدانی ئەم ھاوکێشەیە : AY+BDY+CDY=X لە eMX ئۆیلەر وایدانا کە شیکارکردنی ھاوکێشەی بەرھەمھاتوو لەسەر ئەم شێوەیە دەبێت : Emx(A1y+B1dy) کاتێک A1,B1 دوو ھاوکۆلکەی دیاری نەکراون بە جیاکاریکردنی ھەردوولای ھاوکێشەی کۆتایی و بە بەراوردکردنی ئەنجامەکە ڕادە بە ڕادە لەگەڵ ھاوکێشەکەی کە دراوە ئۆیلەر توانی A1,A2,m دیاری بکات . ھەروەھا ڕێگای جیاوازی جێگیرەکان لە لایەن ئۆیلەر زانرابوو بەکاری ھێنا لە ھاوکێشەی پلە دوو کە لە ساڵی ١٧٤٠ بڵاوی کردەوە لە لێکۆڵینەوەکەی دەربارەی ھەڵکشان و داکشان پاشان بەکاریھێنا لە ھەندێ لێکۆڵینەوەی لەسەر لەرینەوەی خو‌لگە ھەسارەییەکان و بڕنۆلی بەشێوەیەکی ڕاستەوخۆی ئەم ڕێگایەی دۆزییەوە لە ساڵی ١٧٤٠ وە ھەریەکە لە ئۆیلەر و کیلۆر سەرکەوتنێکی بەرچاویان بەدەست ھێنا لە لێکۆڵینەوە مەرجەکانی توانای شێوازەکانی جیاکاری بۆ تەواوکاری ،بیردۆزی سەربەخۆی ئەنجامی جیاکاریکرد بوو لە پلەکەی کە ساڵی ١٧٢١ بڕنۆلی دۆزییەوە و پاشان ئۆیلەر سەلماندی ، ھەروەھا لێکۆڵینەوەکان لە بیردۆزی ھاوکۆلکەی تەواوکاری پیشەیەک بوو بۆ ئەم مەرجانە . ئۆیلەر و کیلرۆ لە ساڵی ١٧٤٠ مەرجی توانای شێوازی (Mdx+Ndx) یان بۆ تەواوکاری ڕونکردەوە ، لە ساڵی دوایی واتە ١٧٤١ کیلرۆ مەرجی توانای شێوازی (Mdx+Ndx+pdz)ی و ڕونکردنەوە بۆ تەواوکاری . ڕێگای ھاوکۆلکەی تەواوکاری پەرەسەندنێکی فراوانتری بەخۆیەوە بینی ، بەتایبەتی لە لێکۆڵینەوەکانی ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٦٨ بۆ ١٧٦٩ کە تیایدا چەندین جۆر لە ھاوکێشەی جیاکاری پلەیەک کە ھاوکۆلکەکەی لەسەر شێوەی سەرەوە بڵاوکردەوە ، وە لەساڵی دواییدا ئۆیلەر ڕێگای ھاوکۆلکەکەی تەواوکاری گشتگیر کرد بەسەر ھاوکێشە پلە بەرزەکاندا بەھۆی مەرجی حیسابکردنی گۆڕان کە بە لێکۆڵینەوەی نەخشەی F(X,y،y,….yn) داتاشراوێکی تەواو دەردەکەوێت بۆ نەخشەیەکی تر کە پێک دێت لە داتاشراوەکان ھەتا پلەی (n-1) و ئەندامێکی دی لە ئەکادیمیای زانستەکان لە بتروسبورگ لە ساڵی ١٧٧١ ئەم مەرجەی ھەڵێنجا کە ئەویش زانا لیکسل (١٧٤٠-١٧٨٤)بوو بەبێ پەنابردنە بەر حیسابکردنی گۆڕان و دۆزینەوەی لاکرانج لە ساڵی ١٧٦٦ ھاوکێشەی ئاژەڵ بۆ ھاوکێشەی بەھێڵی چونیەک کە باسکرا ، دۆزینەوەی ئاوەڵبونی چونیەک کە باسکرا ، دۆزینەوەی ئاوەڵبوونی خۆیی بۆ دوو ھاوکێشەکە یەکێکە لە گرنگترین بەجێھێنانەکانی بیردۆزی کۆلکەی تەواوکاری ، ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٧٨ ئەم ڕاستییەی بەرجەستە کرد و بەشێوەیەکی وردتر دایڕشت . لێرەدا ناتوانین ھەموو بیردۆزەکانی ئۆیلەر بژمێرین لە بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییە ئاساییەکان ، ھەروەھا ئۆیلەر لێکۆڵینەوەیەکی تری ئەنجام دا دەربارەی تایبەتمەندی ھاوکێشە گشتییەکەی ریکاتی و سەرکەوتنی بەدەست ھێنا پاشان لەئەنجامی لێکۆڵینەوەی لەسەر لەرینەوەی پەردەیەکی پانی تەندکراو ئۆیلەر گەیشتە دۆزینەوەی ئەم ھاوکێشەیە : (a2-B2)u+1 du+d2u=٠ کە لەدواییدا ناسرا بە ھاوکێشەی بیسیل (١٧٨٤-١٨٤٦) و ھەر ئەم ھاھوکێشەیە زانا بڕنۆلی دیراسەی لەسەر کرد . ئۆیلەر ئەم ھاوکێشەیەی شیکار کرد لەسەر شێوەی زنجیرە نا کۆتا تەنھا جیاوازی ھەبوو بە ھاوکۆلکەی نەگۆڕ لە نەخشەی لولەکی TB(ar) ئەمەش لە ئەنجامی لێکۆڵینەوەی لەسەر لەرینەوەی زنجیرە قورسەکان کە بڵاوکرایەوە لە ساڵێ ١٧٣٨ و لە ساڵی ١٧٦٨ ئۆیلەر تەواوکاری جەبری ئەم ھاوکێشەیەی دۆزییەوە :

کاتێک فرە ڕادە ڕاستییەکان لە پلەی چوار ، بەمەش بیردۆزێکی گرنگی بەدەست ھێنا لە کۆکردنەوەی تەواوکارییە ناتەواوەکان ، ھەروەھا ئۆیلەر زنجیرەیەک لە ھاوکێشەی دیاری کرد کە تەنھا شیکارێکیان ھەیە ، ھەروەھا ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٣٦دا تێبینی ئەوەی کرد : کە ئەگەر ھاوکێشەکەی لاکرانج ھاوکۆلکەی (x,y) u ھەبێت ئەوا ھاوکێشەکەی

دەتوانێت تەنھا شیکارێک بدات بۆنمونە لە حاڵەتی ھاوکێشەی :

xdx+ydy=x2+y2-r2 کە ھەیە ئەوا تەنھا شیکار بریتییە لە : x2+y2=٠

ئەم نمونەیە دەگەڕێتەوە بۆ زانا لاکرانج . پرسیارەکانی میکانیکی ھەسارە ئاسمانییەکان ، بەتایبەتی بیردۆزی جوڵەی مانگ کە لەوکاتەدا گرنگی زۆری پێ دراوە وەکو پێویستییەک بۆ دەریاوانەکان و زانینی ئاڕاستەکان کارێکی زۆری کردە سەر ئەوەی کە پەرەبدرێت بە ڕێگا نزیککراوەییەکان بۆ تەواوکاریکردنی ھاوکێشە جیاکارییەکان و لە یەکێک لەو ڕێگا جیاوازانە ڕێگای ئۆیلەر بوو لە ساڵی ١٧٦٨ کە گرینگییەکی زۆری ھەبوو لەکاتەدا ، ھەروەھا ئۆیلەر پێش زانا بڕنۆڵی شیکارکردنی ھاوکێشەی ژێی لە حاڵەتی تایبەتی بەدەستھێنا لەسەر شێوەی زنجیرە سێگۆشەییەکان ، ھەروەھا ھاوکێشە جیاکارییە بەشییە پلەبەرزەکان ھەروەکو لە زانستەکانی ماتماتیک دەرکەوت لە زۆربەی زۆری لقەکانی فیزیاش دەرکەوت وەکو لێکۆڵینەوە ھایدرۆ داینامیکییەکان کە (ئۆیلەر دالمبێر) لەم بوارەدا ئەو نەخشانەیان بەکارھێنا کە پشت دەبەستێت بە گۆڕاوە ئاوێتەکان بۆیەکەم جار لە ساڵی ١٧٥٢ ھەروەھا لە پرسیارەکانی لەرینەوەی پەردە دەرکەوت کە زانا ئۆیلەر چەندین لێکۆڵینەوەی لەم بوارەدا ئەنجام دا ھەروەھا لە بیردۆزەکانی ئەرک ( theory of potential ) دا دەرکەوت ھەروەکو لە ھاوکێشەی لابلاس دا (١٧٤٩-١٨٢٧) دەبینرێت کە لەساڵی (١٧٩٨) دۆزییەوە لە چەندین بواری تردا دەرکەوت و لەئەنجامی ئەمەشدا توانرا چەندین جۆر ھاوکێشەی جیاکاری بەشی بەھێڵ لە پلەدوو دابڕێژرێت ، لەگەڵ ئەمەشدا زانا ماتماتیکییەکانی سەدەی ھەژدەم نەیانتوانی بگەنە داڕشتنی پرسیارە گشتییەکان بۆ بیردۆزی ئەم ھاوکێشانە و لەوکاتەدا بەپێزترین لێکۆڵینەوە لەم بوارەدا لێکۆڵینەوەکانی ئۆیلەر بوو کە لەساڵس ١٧٧٠ بەرھەمی ھێنا دەربارەی گۆڕینی ھاوکێشە بەھێلەکانی پلەدوو بۆ شێوەی یاسایی دیاریکراو بەھۆی لەجیاتیدانانی گۆڕاوەکان ، شێوەیەکی گشتی ھاوکێشەی جیاکاری پەرەی سەند لەسەر دەستی ئۆیلەر دالمبێز و لاکرانج لەسەر بنچینەی شیکاری و حسابی ھەروەھا بنچینەکانی بیردۆزی ئەندازەیی بۆ ھاوکێشە بەشییەکان دانا و چەندین شێوەی یاسایی بۆ ھاوکێشە بەشییە پلە بەرزەکان دەرھێنا ، ھەروەھا ئۆیلەر گرنگی ھەبوو لە بەیەکەوە بەستنی بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییەکان بە حسابکردنی گۆڕان و ئەندازەی جیاکاری ، پاشان بەیەکەوە بەستنەوەی بیردۆزی نەخشەکان لە گۆڕاوی ئاوێتە و زنجیرە سێگۆشەییەکان و نەخشە تایبەتییەکان و تەواوکارییە ناتەواوەکان (elliptical) ئەمانە و چەندین بابەتی گرنگ

ی تر بەشێوەیەکی زۆر جوان زانا ئۆیلەر لە کتێبە کلاسیکییەکەیدا بەناوی (حساب التکامل) بڵاوکردەوە کە پێکھاتبوو لە چوار بەرگ لە سان بتروسبورگ ساڵی (١٧٦٨-١٧٧٠) و بەشی چوارەمی کتێبەکەی لە ساڵی ١٧٩٤ بڵاوکرایەوە ، کە بۆماوەیەکی زۆر زۆر دائەنرا بە ھەرە گرنگترین سەرچاوەکان بۆ لێکۆڵەرەوە زانا ماتماتیکییەکان و تا ئێستا نرخەکەی لەدەست نەداوە لە نیوەی یەکەمی سەدەی نۆزدەھەم بیرۆکەی تازە خرایە ناو بیردۆزی ھاوکێشە جیاکارییەکان ، بەشێکیان لە ئەنجامی چارەسەرکردنی تازە بۆ پرسیارە فیزییە بیرکارییەکان بوو و بەشەکەی تریان لە ئەنجامی چاکسازی گشتی بوو بۆ شیکاری ماتماتیکی . بیردۆزی ھاوکێشەی جیاکارییەکان لە ‌سەدەی ھەژدە و نۆزدە دا بەتایبەتی لەسەر دەستی زانا ڕوسییەکان پەرەی سەند ، لەوانەش زانا : (ئۆیلەر ، ئۆستروجرادسکی ، میندینج ، دافیدۆف ، ئەمشینیتسکی ، سۆنین ، کۆفالیفسکایا ، لیابۆنۆف ، ستکلۆف و ھتد . ئۆیلەر لەسەدەی ھەژدەھەمدا ھەستا بە پەرەپێدانی سەلمێنراوھی زنجیرەکان ھاوکێشە جیاکارییەکان وە ھەستا بە دانانی لقێکی دی لە ماتماتیک بەناوی شیکارکردنی ماتماتیکی ، ھەروەھا ئۆیلەر دەوری باڵای ھەبوو لە پەرەسەندن و پێشخستنی بیردۆزی ژمارەکان دوو ڕێگای زۆر چاک بۆ بەدەستھێنانی زانیاری دەربارەی شیکارکردنی ھاوکێشە جیاکارییەکان بریتییە لە نزیککردنەوە ژمارەییەکان کە دەناسرێت ب ڕێگای ئۆیلەری سەرەتایی و ڕێگای ئۆیلەری ڕاستکراوە . یەکێکی دی لە بیردۆزەکانی ئۆیلەر لە زانستی ماتماتیکدا ئەوەیە کە بەکاردێت سەبارەت بە نەخشە چونیەکەکان لەونەخشانەی کە ڕەھەند سفرن ھەروەھا ھەروەک ئاماژەمان بۆ کرد ھەر لە ساڵس ١٦٩١ جان بڕنۆلی پشتی دەبەست بە کۆلکەی تەواوکاری لە شیکارکردنی ھاوکێشەی جیاکاری ، بەڵام زانا ئۆیلەر بیردۆزێکی دانا دەربارەی ئەم کۆلکەیە بە بەکارھێنانی پێوانەی تەواوکارییەوە بەڵام ھاوکێشە جیاکارییە بەھێلەکان کە ھاوکۆلکەکانیان جێگیر بوو ئۆیلەر لە ساڵی ١٧٥٠ تەواوی کرد. ==ئۆیلەر و فیزیا== لیۆنارد ئۆیلەر دادەنرێت بە یەکێک لە بەناوبانگترین زانا بیرکارییەکان لە بەرھەم و بابەتدا بە درێژایی سەردەم وە یەکێک لە ھەرە کارە جوانەکانی کە بریتییە لەو دۆزینەوانەی کە لە بواری ھایدرۆ دینامیک و کوانتەمە جیڕەکان و ...ھتدی بەدەست ھێناوە بەتایبەتی لەبەر ئەم کارانەی ئۆیلەر بۆ ھەمیشە ناوی دەمێنێتەوە لای قوتابیانی بەشی ئەندازیاری . ئۆیلەر یەکەم بیرکاربووە کە بۆ یەکەم جار و بەشێوەیەکی زۆر جوان یاسایی ڕۆیشتنی شلەکانی داڕشتووە ، ھەر ئەوە بووە کە بۆ یەکەم جار گرنگی پەستانی شلەکان و پەیوەندی بە ڕۆیشتنەوە لێکداوەتەوە ، ئەو ھاوکێشەیەی کە ئێستا دەناسرێت بە ھاوکێشەی بڕنۆلی بۆ یەکەم جار لەلایەن ئۆیلەرەوە بیرکاریانە داڕێژراوە ، بەڵام دانیاڵ بڕنۆڵی ھاوڕێی بەشێوەیەکی بنچینەییانە دایناوە و بڵاوی کردۆتەوە ھەروەھا ئۆیلەر وەکو بیرکارێک بەشێوەیەکی زۆر قوڵ و ئەندازەییانە لە چەماوەی تەنە بەربووەکان (لەژێر کاریگەری ھێزەکان و ئەو کێشانەی دەخرێتە سەری) کۆڵێوەتەوە ، ھەروەھا بە شێوەیەکی گشتی گرنگی داوە بە بابەتی بەرگری ماددەکان و لە ساڵی ١٧٥٧ دا لێکۆڵینەوەیەکی گرنگی بڵاو کردەوە لەبارەی بابەتی قوپانی ستونەکان (Buckling of struts) و ئەم لێکۆڵینەوەیە تا ئێستا دەپارێزرێت و گرنگی تایبەتی خۆی ھەیە دیسان ھاوکێشەکەی ئۆیلەر بۆ ستونەکان شتێکی زۆر دیار و ئاشکرایە بۆ زۆربەی زۆری خوێندکاران لە کۆلێجی ئەندازیاری سەرەڕای بەرھەمھێنانی چەندین بابەت لە بواری جەبر و زانستی حیساب ، ھەروەھا ئۆیلەر بە قوڵی گرنگی دا بە زانستی ئەندازە ، ھەروەھا چەندین شتی بۆ بیردۆزی چەماوەکان (Curves) و ڕووکان (Surfaces) زیادکرد و لەم بوارەدا (جێگری ئۆیلەرEuler Constant) یەکێکە لە جێگیرە زانراوەکان ھەروەھا ھاوکێشەیەکی تری بەرھەم ھێنا سەبارەت بە بابەتی تەنە فرە ڕووکان کە ئەویش پەیوەندی نێوان ژمارەی ڕووکان و ژمارەی سەرەکان لە تەنێکی فرە دیاری دەکات ، ھەروەھا ئۆیلەر بەڕاستی گەردونناسێکی بێ وێنە بوو ، ئو بە جوانی و بە شێوەیەکی تایبەت جوڵەی مانگی دیراسە کرد و پێشبینی بۆ پەرەسەندنی بیردۆزی کیپلەر (١٥٧١-١٦٣٠) کرد سەبارەت بە کۆمەڵەی خۆر ، ھەروەھا ھەستا بە دانانی چەندین یاسای بنەڕەتی بۆ ھەسارە ئاسمانییەکان کە دەناسرێت بە (Pertubaion) کە بریتییە لە تێکچوونی جوڵەی بە خولی ھەسارەیەکی ئاسمانی بەھۆی ھێزێکەوە بێجگە لەو ھێزەی کە دەبێتە ھۆی سوڕانەوەی ئاسایی ھەسارەکە لیۆنارد ئۆیلەر و دانیاڵ بڕنۆلی (١٧٠٠-١٧٨٢) پێکەوە کۆڵەکەکانی دینامیکی ھەوایی کلاسیکییان دامەزراند ، کە چارەسەری جوڵەی ناوەندی و دانراو دەکات کە دەناسرێت بە شلگازی نمونەیی بە بەکارھێنانی جیاکاری بەسەریدا بەو شێوە بابەتی دینامیکی ھەوایی کلاسیکی بوو بە ھۆی سەرنج ڕاکێشانی زۆربەی زانا بیرکارییەکان . چەند یاسایەک ھەیە لە فیزیای شلگاز یاخود (فیزیای شلگازی ئاوەکی) کە دەناسرێت بە ھاوکێشەکانی ئۆیلەر کە ئەویش سێ ھاوکێشەی جیاکارییە بۆ جوڵەی شلگازی نمونەیی کە ھێزی بەردەوامی ھێزە دەرەکییەکان و پەستان پێکەوە دەبەستێتەوە لە شلگازەکە . ھەروەھا ئۆیلەر زانای ماتماتیک و میکانزمی بەناوبانگ بنەماکانی ڕێگاکانی شیکارکردنی پرسیارەکانی دینامیکی پنتەخاڵ و تەنی سەرتی دانا بەھۆی دروستکردن و شیکارکردنی (تەواوکاریکردنی) ھاوکێشە جیاکارییەکان کە تایبەتە پێیان . ئۆیلەر ماوەیەکی زۆر لە بتروسبورگ مایەوە و کاریکرد ، کاریگەری زۆری ھەبوو لە پێشکەوتن و پەرەسەندنی زانستی میکانیک بە شێوەیەکی گشتی . ئۆیلەر بۆ یەکەم جار لێکدانەوەی بۆ ئەو پرسیارە میکانیکانە کرد پێشکەش کرد کە بەڕێگای شیکارکردنی ڕووت (پەتی ، سادە) شیکار دەکرێن ، ھەروەھا دوای مردنی زانا ماڵبڕانش (1638-1715Malbranche) بیردۆزەکەی دەربارەی ڕەنگەکان خەریک بوو لەبیر بچێتەوە ، بەڵام زانا ئۆیلەر گریمانەیەکی (فرچیە) بەیەکەوە بەستنی لە نێوان ڕەنگ وڕێبازی تیشک دانا ، بەڵام بە بێ ئەوەی باسی ماڵبڕانشی تیادا بکات . گۆشەکانی ئۆیلەر لە فیزیادا سێ گۆشەن کە باری تەنێکی یەکگرتوو دیاری دەکات بە دەوری خاڵێکی نەگۆڕدا دەسوڕێتەوە بەگوێرەی کۆمەڵێک تەوەرەی کارتیزی جێگری کە لەو خاڵەدا بەیەک دەگەن ، ھەروەھا ئۆیلەر زۆر بابەتی بەنرخی ھەیە لە بیرکاری و فیزیادا ، یەکێکی تر لەو بابەتانەی ئەوە بوو گرنگی پەستانی ڕونکردەوە لە ڕۆیشتنی شلگازەکاندا ، ھەروەھا ئەم زانایە سێ یاسای گرنگی ھەیە کە پێی دەوترێت ھاوکێشەکانی ئۆیلەر بۆ جوڵەی تەنی سەرتی کە لە میکانیزمی تیۆریدا دەورێکی باڵای ھەیە . فیجودسکی دەڵێت: ئۆیلەر زیاتر لە ٨٠٠ کاری نوسیوە ، وە ھەستاوە بە دۆزینەوەی چەندین بابەتی جۆراو جۆری زۆر گرنگ لە زانستی فیزیا و ماتماتیک ، وە یەکێک بووە لەو کەسانەی کە ھەوڵێکی زۆری دا لە پێشکەوتن و بەردەوامبوونی زانستەکان لە ڕوسیا بەڵێ ئۆی ەری زانا بۆ ھەمیشە ناوی وەکو ئەستێرەیەکی پڕشنگدار دەگەشێتەوە لە جیھانی ماتماتیک و فیزیا ئەویش بەھۆی ئەو کار و بەرھەمە بێ وێنانەی کە پێشکەشی مرۆڤایەتی کرد. لیۆنارد ئۆیلەر لە سانت بتروسبورگ لە ١٨ی ئەیلولی ساڵی ١٧٨٣ کۆچی دوایی کرد کاتێک تەمەنی گەیشتبووە حەفتا و شەش ساڵ وھەر لەو ساڵەدا زانای بەناوبانگی بیرکاری داڵمبێر کۆچی دوایی کرد.