فورمووڵی ئۆیلەر

فورمووڵی ئۆیلەر (بە ئینگلیزی: Euler's formula)، کە بە ناو لیۆنارد ئۆیلەر ماتماتیکزانی سویسڕی ناونراوە لە شیکاریی ئاوێتەدا فورمووڵێکی جەبرییە کە پەیوەندیی فانکشنیی توانی ئاوێتە و فانکشنە سێگۆشەیییەکان بەم شێوە دەردەبڕیت:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\!$

لێرەدا $e\!$ بنچینەی لۆگاریتمی سروشتی و $i={\sqrt {-1}}\!$ یەکەی خەیاڵییە و گۆڕەکی $x\!$ دەتوانێت ھەر ژمارەیەکی ڕاستەقینە بێت بە یەکەی پێوانی ڕادیان.

سەلماندن

ئەمانە دەزانین:

${\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}}$

و ...بە بەکارھێنانی زنجیرەی تایلۆری $e^{ix}$ بۆ ھەر $x$ێکی ڕاستەقینە پەیوەندییەکە بە شێوەی خوارەوە بەدەست دێت:

${\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}$

سەرچاوەکان

• Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed.، Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
• Henry J. Ricardo (2009). "A Modern Introduction to Differential Equations", 2nd ed.، Academic Press. ISBN 978-0-12-374746-4.