ماتریکس

ماتریکس
لقی	array data structure، tensor
بابەتی لاوەکی	جەبری ھێڵی
لێکۆڵینەوە لەلایەن	جەبری ھێڵی، matrix theory
تاگی "ستەک ئێکسچەینج"	https://stackoverflow.com/tags/matrix، https://math.stackexchange.com/tags/matrices، https://mathoverflow.net/tags/matrices
لە ویکیدراوە دەستکاریی زانیارییەکان بکە

ماتریکس یان ڕیزکراوە (بە ئینگلیزی: Matrix) لە زانستی بیرکاریدا بریتییە لە پێکھاتەیەکی لاکێشەیی کە ژمارە یان ھەر دەربڕەیێکی بیرکارییانەی تێدایە. ئەم لاکێشەیە لە ژمارەیەک ڕیز و کۆڵەکە (یان ستوون) دروست دەبێت. ھەرخانەیەک کە لە ژمارەیەک یان بڕێک پێک دێت پێی دەوترێت دانەیەک لەدانەکانی ماتریکسەکە. ھەموو دانەیەک لەدانەکانی ماتریکس ناونیشانێکی ھەیە کە شوێنەکەی لە ماتریکسەکەدا پێشان دەدات. ناونیشانی دانە لە ژمارەی ئەو ڕیزەی لەسەر یەکێک بەدوایدا و ژمارەی ئەو ستوونەی لەخۆی دەگرێت پێکدێت. ماتریکسەکان بۆ شیکاریکردنی سیستمی ھاوکێشە ھێڵییەکان بەکار دەھێنرێن. بۆ نموونە ئەو ھاوکێشە ماتریکسییەی کە سیستمی دوو ھاوکێشەی ھێڵی

${\begin{alignedat}{5}2x&&\;+\;&&3y&&\;=\;&&6&\\4x&&\;+\;&&9y&&\;=\;&&15&.\end{alignedat}}$

دەنوێنیت، بریتییە لە:

${\begin{pmatrix}2&3\\4&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\15\end{pmatrix}},$

جۆر

جۆر یان پلەی ماتریکس ژمارەی ڕیز و ستوونەکانی دەنوێنێت و بە شێوەی ژمارەی ستوون × ژمارەی ڕیز دەنووسرێت بۆیە ئەگەر ماتریکسەک ٢ ڕیز و ٣ ستوونی ھەبێت جۆرەکەی ٣×٢ دەبێت (دەخوێندرێتەوە ٢ بە ٣).

نموونە

ماتریکسی خوارەوە ٢ ڕیز و ٣ ستوونی ھەیە.

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}$

بەو ماتریکسەی لە تەنیا یەک ڕیز پێک ھاتووە ئاڕاستەبڕی ڕیزی یان ماتریکسی ڕیزی و بەو ماتریکسەی لە یەک ستوون یان کۆڵەکە پێک ھاتبێت، ئاڕاستەبڕی ستوونی یان ماتریکسی ستوونی دەوترێت. ئەو ماتریکسەی ھەمان ژمارە لە ڕیز و ستوونی ھەیە، بریتییە لە ماتریکسی چوارگۆشەیی لە جۆری m × m. ئەو ماتریکسەی لە ناکۆتا ڕیز یان ستوون (یان ناکۆتا ڕیز و ستوون) پێک ھاتبێت، پێی دەوترێت ماتریکسی ناکۆتا.

ناو	جۆر	نموونە	شرۆڤە
ئاڕاستەبڕی ڕیزی	١ × n	${\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}$	ماتریکسێک کە لە یەک ڕیز پێک ھاتووە، بۆ دیاریکردنی ئاڕاستەبڕێک بەکار دێت
ئاڕاستەبڕی ستوونی	n × ١	${\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}$	ماتریکسێک کە لە یەک ستوون پێک ھاتووە، بۆ دیاریکردنی ئاڕاستەبڕێک بەکار دێت
ماتریکسی چوارگۆشەیی	n × n	${\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}$	ماتریکسێک ژمارەی ڕیز و ستوونەکانی یەکسانن، بۆ دیاریکردنی نەخشەیەکی ھێڵی کە لە بۆشایییەکی ئاڕاستەکراو بۆ خۆی پێناسە دەکرێت، وەکوو وێنەدانەوە و خولانەوە.

بۆ ئەوەی دوو ماتریکس کۆ بکرێنەوە یان لێکدەر بکرێن پێویستە لە ھەمان جۆر بن.

نووسین

ماتریکسەکان ھەندێک جار بەم شێوە

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

یان

$\mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)$

و بە پیتی ئینگلیزیی گەورە (وەکووA) دیاری دەکرێن. دانەی (a_١١, یاa_١٬١) لە ماتریکسیAدا، ئەو دانەیە کە دەکەویتە سەر، ڕیزی یەکەم و ستوونی یەکەم. دانەیەک لە ماتریکسی Aبەم شێوەیش A[١٬١]، A_١٬١ یان (١٬١) ھێما دەکرێت. بۆ نموونە دانەی (١٬٣) لە ماتریکسی A ئەو دانەیە کە دەکەویتە سەر ڕیزی یەکەم و ستوونی سێھەم (یان بەم شێوە ھێما دەکرێت [a_١٣، a_١٬٣، A[١٬٣ یاA_١٬٣) یەکسانە بە ٥:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}$

کردارە سەرەکییەکان

لێکدانی ماتریکس

وتاری سەرەکی: لێکدانی ماتریکس

لێکدانی دوو ماتریکس، ماتریکسێکی تری لێ پەیدا دەبێت، پێی دەوترێت ئەنجامی لێکدانی دوو ماتریکسەکە. کاتێک دەتوانیت دوو ماتریکس لێک بدەیت کە ژمارەی ستوونەکانی ماتریکسی یەکەم یەکسان بێت بە ژمارەی ڕیزەکانی ماتریکسی دووھەم. ئەگەر A ماتریکسێک لە جۆری n × m و B ماتریکسێک لە جۆری m × p بێت، ئەنجامی لێکدانی دوو ماتریکسی A و B، ماتریکسێکە لە جۆری n × p. بە زمانی بیرکاری بۆ $A\in F^{m\times n}$ و $B\in F^{n\times p}$ لە مەیدانی $F$، $(AB)\in F^{m\times p}$، دانەکانی ماتریکسی AB بریتین لە:

$(AB)_{i,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}$

لێرەدا i و j ژمارەی سروشتی و $1\leq j\leq p$ و $1\leq i\leq m$.

نموونە

شێوەی ھەژمارکردنی دانەی ٢٣٤٠

(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

کردار	نموونە
کۆکردنەوە	${\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}$
لێکدانی سکالێر	$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

ماتریکسی چوارگۆشەیی

وتاری سەرەکی: ماتریکسی چوارگۆشەیی

ماتریکسی چوارگۆشەیی ئەو ماتریکسەیە کە ھەمان ژمارە لە ڕیز و ستوونی ھەیە، بۆ نموونە ماتریکسی ٣×٣ ماتریکسێکی چوارگۆشەیییە و لە سێ ڕیز و سێ ستوون پێک ھاتووە.

ماتریکسی یەکە

وتاری سەرەکی: ماتریکسی یەکە

ماتریکسی یەکە، ماتریکسێکی چوارگۆشەیییە ھەموو دانەکانی سفرە جگە لە دانەکانی سەر تیرەی سەرەکی کە دەکاتە ١. ماتریکسی یەکە بە I_n یان شێوەی سادەتری I ھێما دەکرێت.

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

ھەڵگەڕاوەی ماتریکس

وتاری سەرەکی: ھەڵگەڕاوەی ماتریکس

بە ماتریکسی n×nی B دەوترێ ھەڵگەڕاوەی ماتریکسی A ئەگەر ئەنجامی لێکدانی ماتریکسی A لە ماتریکسی B یەکسان بێت بە ماتریکسی یەکەی I بە زمانی بیرکاری:

$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\$

ھێمای A⁻¹ بۆ ھەڵگەڕاوەی ماتریکس بەکار دەھێنرێت.

سەرچاوەکان

• ماتریکس لە ویکیی ئینگلیزیدا؛ شوباتی ٢٠١٥