فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان

فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان (بە ئینگلیزی: Inverse trigonometric functions) لە بیرکاریدا، ھەڵگەڕاوەی فانکشنە سێگۆشەییەکانن و بەپێی پێناسەی فانکشنی ھەڵگەڕاوە، مەوداکەیان ژێرکۆمەڵێک لە بواری فانکشنە سەرەکییەکەیە. لەبەر ئەوەی ھیچ یەک لە فانکشنە سێگۆشەیییەکان یەکبەیەک نین، بۆ ئەوەی کە ھەڵگەڕاوەکانیان فانکشن بێت دەبێت سنوورێک بۆ مەوداکەیان دیاری بکرێت. بۆ ئەوەی بابەتەکە ڕوونتر بکرێتەوە وا دابنێ $y=\operatorname {arcsin} (x)$ ئەوا $x=\operatorname {sin} (y)$ بەڵام بۆ دانەی x دەتوانین چەند دانە y بدۆزینەوە کە ھاوکێشەی $x=\operatorname {sin} (y)$ پاسادان دەکات، وەکوو yی یەکسان بە سیفر، π و ٢π، بە دانانی ھەر یەک لەم سێ بەھای y، بەھای ساین یان x یەکسان دەبێت بە سیفر، واتە فانکشنی ھەڵگەڕاوەی سینوس یا arcsin چەندین شیکاری ھەیە $\operatorname {arcsin} (0)=0,\pi ,2\pi$ و ئەوە لەگەڵ پێناسەی فانکشن یەکتر ناگرنەوە. (فانکشن بریتییە لەو پەیوەندییەی کە ھەر بەھای x بە تەنھا یەک بەھای y دەبەستێتەوە) خشتەی فانکشنە سەرەکییەکان:

ناو	ھێما	پێناسە	ماوەی x	مەودای فانکشن (ڕادیان)	مەودای فانکشن (پلە)
ئاڕک ساین	y = arcsin x	x = sin y	١ ≥ x ≥ ١−	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	°٩٠ ≥ y ≥ °٩٠-
ئاڕک کۆساین	y = arccos x	x = cos y	١ ≥ x ≥ ١−	$0\leq y\leq \pi$	١٨٠° ≥ y ≥ °٠
ئاڕک تانجێنت	y = arctan x	x = tan y	ھەموو ژمارە ڕاستەقینەکان	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	°٩٠ ≥ y ≥ °٩٠-
ئاڕک کۆتانجێنت	y = arccot x	x = cot y	ھەموو ژمارە ڕاستەقینەکان	$0\leq y\leq \pi$	١٨٠° ≥ y ≥ °٠
ئاڕک سێکنت	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −١ یا ١ ≤ x	$0\leq y\leq \pi ,y\neq \;{\frac {\pi }{2}}$	١٨٠° ≥ y ≥ °٠ و y≠٩٠°
ئاڕک کۆسێکنت	y = arccsc x	x = csc y	x ≤ −١ یا ١ ≤ x	${\frac {-\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq \;0$	°٩٠ ≥ y ≥ °٩٠- و y≠٠°

پەیوەندیی نێوان فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان

وێنەی ڕوونکردنەوەی $\operatorname {arcsin} (x)$ (سوور) و $\operatorname {arccos} (x)$ (شین) لە ڕووتەختی پۆتاندا.

وێنەی ڕوونکردنەوەی $\operatorname {arctan} (x)$ (سوور) و $\operatorname {arccot} (x)$ (شین) لە ڕووتەختی پۆتاندا.

وێنەی ڕوونکردنەوەی $\operatorname {arcsec} (x)$ (سوور) و $\operatorname {arccsc} (x)$ (شین) لە ڕووتەختی پۆتاندا

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\arctan(-x)=-\arctan x\!$

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!$

$\arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,$

$\arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,$

$\arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,$

$\arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,$

$\operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,$

$\operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,$

$\operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,$

$\operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,$

پەیوەندیی نێوان فانکشنە سێگۆشەیییەکان و فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان

$\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

گرتەی فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$

بۆ ھەر x ی ڕاستەقینە

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}$

لە گرتەی سادەدا ئەگەر $\theta =\arcsin x\!$ ، ئەوا:

${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

تەواوکاریی بێسنووری فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان

ئەم پەیوەندییانە بۆ ھەر xـەکی ڕاستەقینە و ئاوێتە پاسادانە:

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right)\right)+C\end{aligned}}$

بۆ ھەر x ≥ ۱ لە ژمارە ڕاستەقینەکاندا:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

دەتوانی بە بەکارھێنانی تەواوکاری بە بەشکردن، ھەژماری ئەم پەیوەندییانە بکەیت.

نموونە

بە کەلکوەرگرتن لە $\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$ :

${\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}$

ئەوا:

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

بە گۆڕینی گۆڕەک:

$k=1-x^{2}.\,$

لەمەوە دەردەچێت:

$\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x$

و

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}$

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «توابع معکوس مثلثاتی»، ویکیپیدیای فارسی. سەردان لە ٢٨ی تشرینی یەکەمی ٢٠١٦.