کلووبەفری کۆخ

کلووبەفری کۆخ پاش حەوت دووبارەبوونەوە

کلووبەفری کۆخ یان کلووی کۆخ (بە ئینگلیزی: Koch snowflake) ھەروەھا بە چەماوەی کۆخ، ئەستێرەی کۆخ و دوورگەی کۆخیش ناسراوە، چەماوەیەکی بیرکارییە کە لەلایەن ماتماتیکزانی سوێدی ھێلگ ڤان کۆخ ساڵی ١٩٠٤ پێشکەش کرا. ئەم چەماوەیە لە یەکەم فراکتاڵەکانە کە باسی لێوە کراوە. کلووبەفری کۆخ لە ھەموو خاڵەکانیدا بەردەوامە، و لە ھیچ خاڵێکدا توانای گرتەی نییە.

پێکھاتە

بۆ دروستکردنی کلووبەفری کۆخ لە سێگۆشەیەکی لایەکسانەوە دەست پێ بکە و ئەم ھەنگاوانەی خوارەوە پەیڕەو بکە:

1. ھەر یەک لە لایەکانی سێگۆشە لایەکسانەکە بە سێ بەشی یەکسان دابەش بکە.
2. سێگۆشەیەکی لایەکسان لەسەر بەشی ناوەڕاست بەرەو دەرەوە دروست بکە بەشێوەیەک کە ئەم بەشە ببێتە بنکەی سێگۆشە نوێکە.
3. بنکەی سێگۆشەکە لە ھەنگاوی دووھەمدا لاببە.

ئەم کارە دووبارە بکەرەوە لەسەر ھەموو ئەو لایانەی وا دەستت دەکەون.

تایبەتمەندییەکان

چێوەی کلووبەفری کۆخ

پاش ھەر دووبارەبوونەوە، ژمارەی لایەکانی کلووبەفری کۆخ ڕوولەزیادبوونە، بە کۆلکەی ٤، کەوایە ژمارەی لایەکان پاش $n$ دووبارەبوونەوە بەم شێوە دەدۆزرێتەوە:

$N_{n}=N_{n-1}\cdot 4=3\cdot 4^{n}\,.$

لە کاتێکدا درێژایی لایەکانی سێگۆشە لایەکسانە سەرەکییەکە $S$ بێت، درێژایی ھەر یەک لە لایەکانی کلوو بەفری کۆخ پاش $n$ دووبارەبوونەوە دەکاتە:

$S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,.$

کەوایە، چێوەی کلوو بەفری کۆخ دوای $n$ دووبارەبوونەوە بریتییە لە:

$P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$

ڕادەی چێوە

لە کاتێکدا ژمارەی دووبارەبوونەوەکان بەرەو بێکۆتا بڕوات، ڕادەی چێوە دەکاتە:

$\lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,$

لەبەر ئەوەی |⁠٤/٣⁠| > 1.

ڕووبەری کلووبەفری کۆخ

لە ھەر دووبارەبوونەوەیەکدا سێگۆشەیەکی نوێ لەسەر ھەر یەک لە لایەکانی دووبارەبوونەوەی پێشوو زیاد دەکرێت، کەوایە ژمارەی ئەو سێگۆشە نوێیانەی لە دووبارەبوونەوەی $n$ ـەمدا زیاد دەبن بریتییە لە:

$T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,.$

ڕووبەری ھەر سێگۆشەیەکی زیاد دەبێت لە دووبارەبوونەوەی $n$ـەمدا بریتییە لە:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.$

لێرەدا a_٠ ڕووبەری سێگۆشە سەرەکییەکەیە. کۆی ئەو ڕووبەرەی لە دووبارەبوونەوەی $n$ـەمدا زیاد دەکات، دەبێتە:

$b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}$

لەمەوە دەردەچێت، ڕووبەری کلووبەفری کۆخ دوای $n$ دووبارەبوونەوە بریتییە لە

$A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.$

$A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.$

ڕادەی ڕووبەر

ڕادەی ڕووبەری کلووبەفری کۆخ بریتییە لە:

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,$

لەبەر ئەوەی |⁠٤/٩⁠| < 1. واتە ڕووبەری کلووبەفری کۆخ دەکاتە ⁠٨/٥⁠ ـەمی ڕووبەری سێگۆشە بنەڕەتییەکە.

ڕەھەندیی فراکتاڵی

ڕەھەندیی فراکتاڵیی کلووبەفری کۆخ بریتییە لە ⁠ln 4/ln 3⁠ ≈ 1.26186 و ئەمە گەورەترە لە ڕەھەندی ھێڵێک کە دەکاتە یەک.

پێشانگا

• 
• 
• 
• 

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «Koch snowflake»، ویکیپیدیای ئینگلیزی. سەردان لە ١٥ شوباتی ٢٠١٩.

بەستەرە دەرەکییەکان

• The Koch snowflake in Mathworld
• The Koch Curve poem by Bernt Wahl
• Computing iterations of the Koch curve in WolframAlpha
• Application of the Koch curve to an antenna
• A WebGL animation showing the construction of the Koch surface ١٦ی ئەیلوولی ٢٠٢٠ لە وەیبەک مەشین، ئەرشیڤ کراوە.