گرووپی ئاڵوگۆڕی

گرووپی ئاڵوگۆڕی یان گرووپی ئابیلی (بە ئینگلیزی: Abelian group) لە ماتماتیکدا، بە گرووپێک وەکوو $G$ دەوترێت کە خاوەنی ئۆپێراتۆرێک وەکوو $\star$ بێت و ئەم ئۆپێراتۆرە لە کۆمەڵەی $G$ دا خاسیەتی ئاڵوگۆڕی ھەبێت، واتە بۆ ھەر $a$ و $b$ لە $G$دا ئەوا:

$a,b\in G,\,a\star b=b\star a.$

بە زمانی ماتماتیک ئەمە بەم شێوەیە دەردەبڕن: «$(G,\star )$ گرووپێکی ئاڵوگۆڕە».

پێناسە

گرووپی ئاڵوگۆڕ کۆمەڵەیەک وەکوو $A$ و ئۆپراتۆرێکی دوانی وەکوو «•» لەخۆ دەگرێت، بەشێوەیەک $(A,\cdot )$ ئەم تایبەتمەندییانەی ھەبێت:

• داخراوەبوون: بۆ ھەر $a$ و $b$ لە $A$دا، ئەنجامی a•b یش لە $A$دا بێت.
• یەکتربەستن: بۆ ھەر $a$ و $b$ و $c$ لە $A$دا ئەوا:

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

• ئاڵوگۆڕی: بۆ ھەر $a$ و $b$ لە $A$دا، دەبێت

$a\cdot b=b\cdot a$.

• ئەندامی بێ لایەن: ئەندامێکی بێ لایەن وەکوو $e\in A$ ھەیە بە شێوەیەک کە بۆ ھەر $a\in A$، ئەوا

$e\cdot a=a\cdot e=a$

• ئەندامی دژ: بۆ ھەر $a\in A$ ، یەک $b\in A$ ھەیە بەشێوەیەک $a\cdot b=b\cdot a=e$ ، (لێرەدا $e$ ئەندامی بێ لایەنە.)

نموونە

کۆمەڵەی ژمارە تەواوەکان لەگەڵ کرداری کۆکردنەوە $+$، بەم شێوەیە ھێما دەکرێت $(\mathbb {Z} ,+)$، گرووپێکی ئاڵوگۆڕە.

• ئەنجامی کۆکردنەوەی دوو ژمارەی تەواو، ژمارەیەکی تەواوە، لەمەوە مەرجی یەکەم (داخراوەبوون) جێبەجێ دەبێت.
• وا دابنێ $b$، $a$ و $c$ سێ ژمارەی تەواو بن. ئەنجامی کۆکردنەوەی $a+b$ لەگەڵ $c$ یەکسانە بە ئەنجامی کۆکردنەوەی $a$ لەگەڵ $b+c$، لەمەوە مەرجی یەکتربەستن جێبەجێ دەبێت.
• وا دابنێ $b$، $a$ دوو ژمارەی تەواو بن، ئەوا

$a+b=b+a$.

• ئەندامی بێ لایەن لەم نموونەدا سیفرە. لەبەر ئەوەی ئەنجامی کۆکردنەوەی ھەر ژمارەیەکی تەواو لەگەڵ سیفر، دەکاتەوە ژمارەکە خۆی.

$0+a=a+0=a$

• دژی ھەر ژمارەیەکی تەواو وەکوو $a$ ژمارەیەکە لە نیشانەدا پێچەوانەی خۆیەتی $-a$ (ژمارەیەکی نەرێنییە).

$a+(-a)=(-a)+a=0$،

لێرەدا $0$ ئەندامی بێ لایەنە.

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «Abelian group»، ویکیپیدیای ئینگلیزی. سەردان لە ٢٧ی حوزەیرانی ٢٠٢٠.