ھاوکێشەی ھێرۆن

ھاوکێشەی ھێرۆن (بە ئینگلیزی: Heron's formula) ھاوکێشەیەکە بە بەکارھێنانی دەتوانی ھەژماری ڕووبەری سێگۆشەیەک بکەی بەبێ زانینی بەھای بەرزایی سێگۆشەکە، بەم شێوە:

$A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

لێرەدا p یەکسانە بە نیوەی چێوەی سێگۆشە، و a و b و c سێ لای سێگۆشەکەن. ناوی ئەم ھاوکێشە لە ناوی ھێرۆن ئەسکەندەرانی ماتماتیکزانی یونانییەوە وەرگیراوە.

شێوەکانی تر

ھاوکێشەی ھێرۆن بە یەکێک لەم چوار شێوە دەنووسرێت:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}.$

نموونە

وا دابنێ a = ٤, b = ١٣ و c = ١٥ سێ لای سێگۆشەی △ABC بن، دەتوانی ھەژماری نیوەی چێوەی سێگۆشە بکەی بەم شێوە: s = ⁠١/٢⁠(a + b + c) = ⁠١/٢⁠(٤ + ١٣ + ١٥) = ١٦ ڕووبەری سێگۆشەی △ABC لە ڕێگەی ھاوکێشەی ھێرۆن بەم شێوە دەدۆزرێتەوە:

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}$

سەلماندن

ھاوکێشەی ھێرۆن لە ڕێگەی جەبری و بە بەکارھێنانی ڕێژە سێگۆشەییەکان دەسەلمێنرێت. ئەم شێوە سەلماندنە جیاوازە لەو سەلماندنەی لە کتێبی مێتریکای ھێرۆندا لە ساڵی ٦٠ی پێش زایین بڵاو کراوەتەوە.

سەلماندن لە ڕێگەی یاسای کۆساینەکان

وا دابنێ a, b, c سێ لای سێگۆشە و α, β, γ گۆشەکانی ناوەوەی سێگۆشە بن، بەپێی یاسای کۆساینەکان:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

بەپێی ھاوئەنجامە سێگۆشەییە بنەڕەتییەکان

$\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1$

لەمەوە دەردەچێت

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «فرمول هرون»، ویکیپیدیای فارسی. سەردان لە ٢٨ی حوزەیرانی ٢٠١٦.

بەستەرە دەرەکییەکان

• A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula لە cut-the-knot
• Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
• J.H. Conway discussion on Heron's Formula
• «Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization». MathPages.com.
• A Geometric Proof of Heron's Formula
• An alternative proof of Heron's Formula without words
• Factoring Heron