ئەم وێنەیە چوار خال نیشان دەدات ( ( − 9, 5) , ( − 4, 2) , ( − 1, − 2) ، (7، 9) )، چەماوەی رادەداری (سێجا) L ( x )پێوانەکراوەکانە y 0 l 0 ( x ) , y 1 l 1 ( x ) , y 2 l 2 ( x ) و y 3 l 3 ( x ) . نەخشەی چەماوەی ڕادەداری بە هەر چوار خاڵەکەی کۆنترۆڵدا تێدەپەڕێت، و هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی پێوانەکراو بە خاڵی کۆنترۆڵکردنی خۆیدا تێدەپەڕێت 0ە کە x هاوتایە لەگەڵ سێ خاڵە کۆنترۆڵەکەی تر. لە شیکاری ژمارەییدا ، چەماوەی ڕادەداریی لاگرانج رادەدارێکی ناوازەیە بە نزمترین پلەی کە کۆمەڵە داتایەکی دیاریکراو چەماوە دروست دەکات .
کۆمەڵە داتایەکی جووتە پۆوتانەکان دەدرێت
(
x
j
,
y
j
)
{\displaystyle (x_{j},y_{j})}
0
≤
j
≤
k
,
{\displaystyle 0\leq j\leq k,}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
گرێ و...
y
j
{\displaystyle y_{j}}
بەهاکان . ڕادەداریی لاگرانج
L
(
x
)
{\displaystyle L(x)}
≤
k
{\textstyle \leq k}
L
(
x
j
)
=
y
j
.
{\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}
هەرچەندە ناوی لێنراوە بەناوی جۆزێف-لویس لاگرانج کە لە ساڵی ١٧٩٥ بڵاویکردەوە، [ ١] [ ٢] لیۆنهارد ئۆیلەرەوە بڵاوکرایەوە . [ ٣]
بەکارهێنانی ڕادەداریی لاگرانج بریتین لە شێوازی نیوتن-کۆتس بۆ یەکخستنی ژمارەیی ، پلانی هاوبەشکردنی نهێنی شامیر لە کریپتۆگرافیدا ، و ڕاستکردنەوەی هەڵەی ڕید-سۆلۆمۆن لە تیۆری کۆدکردندا .
بۆ گرێ یەکسانەکان، چەماوە دروستکردنی لاگرانج ئامادەیە بۆ دیاردەی ڕونجی بۆ لەرینەوە گەورەکان.
کۆمەڵێک لە...
k
+
1
{\textstyle k+1}
{
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
}
{\displaystyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}}
x
j
≠
x
m
{\displaystyle x_{j}\neq x_{m}}
j
≠
m
{\displaystyle j\neq m}
بنەمای لاگرانج بۆ ڕادەدارەکانی
≤
k
{\textstyle \leq k}
{
ℓ
0
(
x
)
,
ℓ
1
(
x
)
,
…
,
ℓ
k
(
x
)
}
{\textstyle \{\ell _{0}(x),\ell _{1}(x),\ldots ,\ell _{k}(x)\}}
k
{\textstyle k}
ℓ
j
(
x
m
)
=
0
{\textstyle \ell _{j}(x_{m})=0}
m
≠
j
{\textstyle m\neq j}
ℓ
j
(
x
j
)
=
1
{\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}
دێڵتای کرۆنکەر ئەمە دەتوانرێت بنووسرێت
ℓ
j
(
x
m
)
=
δ
j
m
.
{\textstyle \ell _{j}(x_{m})=\delta _{jm}.}
ℓ
j
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
(
x
j
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
−
x
k
)
(
x
j
−
x
k
)
=
∏
0
≤
m
≤
k
m
≠
j
x
−
x
m
x
j
−
x
m
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\[8mu]&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\vphantom {\Bigg |}}.\end{aligned}}}
∏
m
≠
j
(
x
−
x
m
)
{\textstyle \prod _{m\neq j}(x-x_{m})}
k
{\textstyle k}
{
x
m
}
m
≠
j
{\textstyle \{x_{m}\}_{m\neq j}}
∏
m
≠
j
(
x
j
−
x
m
)
{\textstyle \prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})}
ℓ
j
(
x
j
)
=
1.
{\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1.}
چەماوەی ڕادەداری لاگرانج بۆ ئەو گرێیانە وە لە بەها هاوبەشەکانیانەوە
{
y
0
,
y
1
,
…
,
y
k
}
{\displaystyle \{y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k}\}}
L
(
x
)
=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
x
)
.
{\displaystyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x).}
k
{\textstyle k}
L
(
x
)
{\textstyle L(x)}
≤
k
{\textstyle \leq k}
L
(
x
m
)
=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
x
m
)
=
∑
j
=
0
k
y
j
δ
m
j
=
y
m
.
{\textstyle L(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\delta _{mj}=y_{m}.}
چەماوە دانانی نەخشە ڕادەدارەکان تایبەتە. بەڵگە: ڕادەدارێک گریمانە بکە
M
(
x
)
{\textstyle M(x)}
≤
k
{\textstyle \leq k}
M
(
x
)
−
L
(
x
)
{\textstyle M(x)-L(x)}
k
+
1
{\textstyle k+1}
{
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
}
.
{\textstyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}.}
≤
k
{\textstyle \leq k}
k
{\textstyle k}
M
(
x
)
−
L
(
x
)
=
0
,
{\textstyle M(x)-L(x)=0,}
M
(
x
)
=
L
(
x
)
.
{\textstyle M(x)=L(x).}
هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج
ℓ
j
(
x
)
{\textstyle \ell _{j}(x)}
ℓ
(
x
)
=
∏
m
(
x
−
x
m
)
{\textstyle \ell (x)=\prod _{m}(x-x_{m})}
w
j
=
∏
m
≠
j
(
x
j
−
x
m
)
−
1
{\textstyle w_{j}=\prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})^{-1}}
کێشی باریسەنتریک )، و بەشێک کە پیشاندەری لادانن لە...
x
j
{\textstyle x_{j}}
x
{\textstyle x}
[ ٤]
ℓ
j
(
x
)
=
ℓ
(
x
)
w
j
x
−
x
j
{\displaystyle \ell _{j}(x)=\ell (x){\dfrac {w_{j}}{x-x_{j}}}}
ℓ
(
x
)
{\textstyle \ell (x)}
فۆڕمی یەکەم بنووسین کە پێی دەوترێت یەکەم باریسەنتری :
L
(
x
)
=
ℓ
(
x
)
∑
j
=
0
k
w
j
x
−
x
j
y
j
.
{\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}.}
ئەگەر کێشەکان
w
j
{\displaystyle w_{j}}
O
(
k
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}
O
(
k
2
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{2})}
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle \ell _{j}(x)}
هەروەها دەتوانرێت فۆرمولەی نەخشە دانانی چەماوەی باریسەنتریکی بە ئاسانی نوێ بکرێتەوە بۆ ئەوەی گرێیەکی نوێ لەخۆبگرێت
x
k
+
1
{\displaystyle x_{k+1}}
w
j
{\displaystyle w_{j}}
j
=
0
…
k
{\displaystyle j=0\dots k}
(
x
j
−
x
k
+
1
)
{\displaystyle (x_{j}-x_{k+1})}
w
k
+
1
{\displaystyle w_{k+1}}
بۆ هەر
x
{\textstyle x}
∑
j
=
0
k
ℓ
j
(
x
)
=
1
{\textstyle \sum _{j=0}^{k}\ell _{j}(x)=1}
g
(
x
)
=
1
{\textstyle g(x)=1}
k
≤
{\displaystyle k\leq }
{
(
x
0
,
1
)
,
(
x
1
,
1
)
,
…
,
(
x
k
,
1
)
}
.
{\textstyle \{(x_{0},1),(x_{1},1),\ldots ,(x_{k},1)\}.}
L
(
x
)
=
L
(
x
)
/
g
(
x
)
:
{\displaystyle L(x)=L(x)/g(x)\colon }
L
(
x
)
=
ℓ
(
x
)
∑
j
=
0
k
w
j
x
−
x
j
y
j
/
ℓ
(
x
)
∑
j
=
0
k
w
j
x
−
x
j
=
∑
j
=
0
k
w
j
x
−
x
j
y
j
/
∑
j
=
0
k
w
j
x
−
x
j
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\\[10mu]&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.\end{aligned}}}
ئەمەش پێی دەوترێت فۆڕمی دووەم یان فۆڕمی ڕاستەقینەی فۆرمولەی ئینتەرپۆلاسیۆنی باریسەنتری.
ئەم فۆڕمە دووەمە لە تێچووی حیسابکردن و وردیدا سوودی هەیە: خۆی لە هەڵسەنگاندنی...
ℓ
(
x
)
{\displaystyle \ell (x)}
w
j
/
(
x
−
x
j
)
{\displaystyle w_{j}/(x-x_{j})}
(
w
j
/
(
x
−
x
j
)
)
y
j
{\displaystyle {\bigl (}w_{j}/(x-x_{j}){\bigr )}y_{j}}
k
{\textstyle k}
x
{\textstyle x}
x
j
{\textstyle x_{j}}
(
x
−
x
j
)
{\textstyle (x-x_{j})}
بەکارهێنانی ئەم فۆرمولەیە بۆ هەڵسەنگاندن
L
(
x
)
{\displaystyle L(x)}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
∞
y
j
/
∞
{\displaystyle \infty y_{j}/\infty }
L
(
x
j
)
=
y
j
.
{\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}
هەروەها دەتوانرێت هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج بە شێوەی باریسەنتری بنووسرێت:
ℓ
j
(
x
)
=
w
j
x
−
x
j
/
∑
m
=
0
k
w
m
x
−
x
m
.
{\displaystyle \ell _{j}(x)={\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}{\Bigg /}\sum _{m=0}^{k}{\frac {w_{m}}{x-x_{m}}}.}
چارەسەرکردنی کێشەی ئینتەرپۆلاسیۆن(نەخشەکردنی چەماوەکە) دەبێتە هۆی کێشەیەک لە جەبری هێڵیدا کە دەکاتە هەڵگەڕاوەی ڕیزکراوێک. بەکارهێنانی بنەمایەکی مۆنۆمیاڵی ستاندارد بۆ نەخشاندی چەماوەی ڕادەدارەکە
L
(
x
)
=
∑
j
=
0
k
x
j
m
j
{\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}
(
x
i
)
j
{\displaystyle (x_{i})^{j}}
L
(
x
i
)
=
y
i
{\displaystyle L(x_{i})=y_{i}}
m
j
{\displaystyle m_{j}}
L
(
x
)
{\displaystyle L(x)}
L
(
x
)
=
∑
j
=
0
k
l
j
(
x
)
y
j
{\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{j}}
ڕیزکراوی یەکەیی مان دەست دەکەوێت,
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
هەڵگەڕاوە دەکاتەوە .
ئەم بنیاتنانە هاوشێوەی تیۆرمی پاشماوەی چینییە . لەبری ئەوەی پاشماوەی ژمارە تەواوەکان بپشکنین کە ژمارە سەرەتاییەکانی مۆدیۆلۆ، ئێمە پشکنین بۆ پاشماوەی فرەژمارەکان دەکەین کاتێک دابەش دەکرێن بەسەر هێڵییەکان.
جگە لەوەش، کاتێک کە ڕێزبەندییەکە گەورە بێت، دەتوانرێت گۆڕینی خێرا فۆریێر بەکاربهێنرێت بۆ چارەسەرکردنی چەنجارەکانی نەخشەی چەماوەی ڕادەدارەکە.
نەخشەی چەماوەی
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
1
≤
x
≤
3
{\displaystyle 1\leq x\leq 3}
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,\,2,\,3\}}
x
0
=
1
,
y
0
=
f
(
x
0
)
=
1
,
x
1
=
2
,
y
1
=
f
(
x
1
)
=
4
,
x
2
=
3
,
y
2
=
f
(
x
2
)
=
9.
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\\[3mu]x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\\[3mu]x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.\end{aligned}}}
گرێی ڕادەدارەکە
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
=
x
3
−
6
x
2
+
11
x
−
6.
{\displaystyle \ell (x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.}
کێشەکانی باریسەنتریک بریتین لە
w
0
=
(
1
−
2
)
−
1
(
1
−
3
)
−
1
=
1
2
,
w
1
=
(
2
−
1
)
−
1
(
2
−
3
)
−
1
=
−
1
,
w
2
=
(
3
−
1
)
−
1
(
3
−
2
)
−
1
=
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={\tfrac {1}{2}},\\[3mu]w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\\[3mu]w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}}
ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج بریتین لە
ℓ
0
(
x
)
=
x
−
2
1
−
2
⋅
x
−
3
1
−
3
=
1
2
x
2
−
5
2
x
+
3
,
ℓ
1
(
x
)
=
x
−
1
2
−
1
⋅
x
−
3
2
−
3
=
−
x
2
+
4
x
−
3
,
ℓ
2
(
x
)
=
x
−
1
3
−
1
⋅
x
−
2
3
−
2
=
1
2
x
2
−
3
2
x
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{0}(x)&={\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+3,\\[5mu]\ell _{1}(x)&={\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\\[5mu]\ell _{2}(x)&={\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x+1.\end{aligned}}}
دانانی نەخشەی چەماوەی ڕادەداری لاگرانج بریتییە لە:
L
(
x
)
=
1
⋅
x
−
2
1
−
2
⋅
x
−
3
1
−
3
+
4
⋅
x
−
1
2
−
1
⋅
x
−
3
2
−
3
+
9
⋅
x
−
1
3
−
1
⋅
x
−
2
3
−
2
=
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=1\cdot {\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}+4\cdot {\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}+9\cdot {\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}\\[6mu]&=x^{2}.\end{aligned}}}
لە فۆڕمی (دووەم) باریسەنتریکدا،
L
(
x
)
=
∑
j
=
0
2
w
j
x
−
x
j
y
j
∑
j
=
0
2
w
j
x
−
x
j
=
1
2
x
−
1
+
−
4
x
−
2
+
9
2
x
−
3
1
2
x
−
1
+
−
1
x
−
2
+
1
2
x
−
3
.
{\displaystyle L(x)={\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-4}{x-2}}+{\frac {\tfrac {9}{2}}{x-3}}}{\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {\tfrac {1}{2}}{x-3}}}}.}
نموونەی جیاوازی ئینتەرپۆلاسیۆن(دانانی نەخشەی چەماوەکە) بۆ کۆمەڵێک ڕادەداری لاگرانج. فۆڕمی لاگرانجی ڕادەداری ئینتەرپۆلاسیۆن تایبەتمەندی هێڵی ئینتەرپۆلاسیۆنی ڕادەدار و تایبەتمەندی ڕادەداری ئینتەرپۆلاسیۆن نیشان دەدات. بۆیە لە بەڵگە و ئارگیومێنتەکانی بیردۆزی و تیۆری باشترە. هەروەها دەتوانرێت تایبەتمەندی لە هەڵگەراوەیی ڕیزکراوی ڤاندەرمۆندەوە ببینرێت، بەهۆی نەمانی دیاریکەری ڤاندەرمۆندەوە .
بەڵام، وەک لە بنیاتنانەوە دەردەکەوێت، هەر جارێک گرێیەک x k
لاگرانج و ئینتەرپۆلاسیۆنەکانی تر لە خاڵە یەکسانەکاندا، وەک لە نموونەی سەرەوەدا، فرەژمارەیەک بەدەست دەهێنێت کە لە سەرەوە و خوارەوەی نەخشە ڕاستەقینەکە دەلەرێتەوە. ئەم ڕەفتارە لەگەڵ ژمارەی خاڵەکاندا گەشە دەکات، ئەمەش دەبێتە هۆی جیاوازییەک کە بە دیاردەی ڕونگ ناسراوە؛ ڕەنگە کێشەکە بە هەڵبژاردنی خاڵەکانی ئینتەرپۆلاسیۆن(نەخشەی چەماوەکە) لە گرێکانی چێبیشێڤ نەهێڵرێت. [ ٥]
دەتوانرێت ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج لە تەواوکاریی ژمارەییدا بەکاربهێنرێت بۆ وەرگرتنی فۆرمولەکانی نیوتن-کۆتس .
[ دەستکاری ] لە کاتی ئینتەرپۆلکردنی فەنکشنێکی دیاریکراوی f بە فرەژمارەیەکی پلەی k لە گرێکانیدا
x
0
,
.
.
.
,
x
k
{\displaystyle x_{0},...,x_{k}}
R
(
x
)
=
f
(
x
)
−
L
(
x
)
{\displaystyle R(x)=f(x)-L(x)}
R
(
x
)
=
f
[
x
0
,
…
,
x
k
,
x
]
ℓ
(
x
)
=
ℓ
(
x
)
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
(
k
+
1
)
!
,
x
0
<
ξ
<
x
k
,
{\displaystyle R(x)=f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]\ell (x)=\ell (x){\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}},\quad \quad x_{0}<\xi <x_{k},}
کاتێک
f
[
x
0
,
…
,
x
k
,
x
]
{\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]}
R
(
x
)
=
ℓ
(
x
)
2
π
i
∫
C
f
(
t
)
(
t
−
x
)
(
t
−
x
0
)
⋯
(
t
−
x
k
)
d
t
=
ℓ
(
x
)
2
π
i
∫
C
f
(
t
)
(
t
−
x
)
ℓ
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle R(x)={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)(t-x_{0})\cdots (t-x_{k})}}dt={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)\ell (t)}}dt.}
ئەوەی کە دەمێنێتەوە دەتوانرێت بەم شێوەیە ببەسترێتەوە
|
R
(
x
)
|
≤
(
x
k
−
x
0
)
k
+
1
(
k
+
1
)
!
max
x
0
≤
ξ
≤
x
k
|
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
|
.
{\displaystyle |R(x)|\leq {\frac {(x_{k}-x_{0})^{k+1}}{(k+1)!}}\max _{x_{0}\leq \xi \leq x_{k}}|f^{(k+1)}(\xi )|.}
(ناتەواوە) LaTeX پێویستە!
F
(
k
+
1
)
(
ξ
)
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
−
L
(
k
+
1
)
(
ξ
)
−
R
~
(
k
+
1
)
(
ξ
)
{\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )=f^{(k+1)}(\xi )-L^{(k+1)}(\xi )-{\tilde {R}}^{(k+1)}(\xi )}
L
(
k
+
1
)
=
0
,
R
~
(
k
+
1
)
=
C
⋅
(
k
+
1
)
!
{\displaystyle L^{(k+1)}=0,{\tilde {R}}^{(k+1)}=C\cdot (k+1)!}
x
{\displaystyle x}
R
~
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {R}}(x)}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
0
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
−
C
⋅
(
k
+
1
)
!
{\displaystyle 0=f^{(k+1)}(\xi )-C\cdot (k+1)!}
دەتوانرێت هاوکێشەکە بەم شێوەیە ڕێکبخرێتەوە
C
=
f
(
k
+
1
)
(
ξ
)
(
k
+
1
)
!
{\displaystyle C={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}}}
چونکە
F
(
x
p
)
=
0
{\displaystyle F(x_{p})=0}
R
(
x
p
)
=
R
~
(
x
p
)
=
f
k
+
1
(
ξ
)
(
k
+
1
)
!
∏
i
=
0
k
(
x
p
−
x
i
)
{\displaystyle R(x_{p})={\tilde {R}}(x_{p})={\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}\prod _{i=0}^{k}(x_{p}-x_{i})}
دەتوانرێت داتاشراوی d یەمی ڕادەدارێکی ئینتەرپۆلکردنی لاگرانج لە ڕووی داتاشراوەکانی ڕادەدارە بنەڕەتییەکان بنووسرێت،
L
(
d
)
(
x
)
:=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
d
)
(
x
)
.
{\displaystyle L^{(d)}(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}^{(d)}(x).}
وەبیرهێنانەوە (بڕوانە § Definition سەرەوە) کە هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج
ℓ
j
(
x
)
=
∏
m
=
0
m
≠
j
k
x
−
x
m
x
j
−
x
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&=\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}}
ℓ
j
′
(
x
)
=
∑
i
=
0
i
≠
j
k
[
1
x
j
−
x
i
∏
m
=
0
m
≠
(
i
,
j
)
k
x
−
x
m
x
j
−
x
m
]
=
ℓ
j
(
x
)
∑
i
=
0
i
≠
j
k
1
x
−
x
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl [}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\not =(i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\Biggr ]}\\[5mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}.\end{aligned}}}
داتاشراوی دووەم بریتییە لە
ℓ
j
″
(
x
)
=
∑
i
=
0
i
≠
j
k
1
x
j
−
x
i
[
∑
m
=
0
m
≠
(
i
,
j
)
k
(
1
x
j
−
x
m
∏
n
=
0
n
≠
(
i
,
j
,
m
)
k
x
−
x
n
x
j
−
x
n
)
]
=
ℓ
j
(
x
)
∑
0
≤
i
<
m
≤
k
2
(
x
−
x
i
)
(
x
−
x
m
)
=
ℓ
j
(
x
)
[
(
∑
i
=
0
i
≠
j
k
1
x
−
x
i
)
2
−
∑
i
=
0
i
≠
j
k
1
(
x
−
x
i
)
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}''(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{\Biggl [}\sum _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq (i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl (}{\frac {1}{x_{j}-x_{m}}}\prod _{\begin{smallmatrix}n=0\\n\neq (i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}\\[10mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m\leq k}{\frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\\[10mu]&=\ell _{j}(x){\Biggl [}{\Biggl (}\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}{\Biggr )}^{2}-\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{(x-x_{i})^{2}}}{\Biggr ]}.\end{aligned}}}
داتاشراوی سێیەم بریتییە لە
ℓ
j
‴
(
x
)
=
ℓ
j
(
x
)
∑
0
≤
i
<
m
<
n
≤
k
3
!
(
x
−
x
i
)
(
x
−
x
m
)
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'''(x)&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m<n\leq k}{\frac {3!}{(x-x_{i})(x-x_{m})(x-x_{n})}}\end{aligned}}}
و بە هەمان شێوە بۆ داتاشراوی بەرزتر.
سەرنج بدە کە هەموو ئەم فۆرمولانە بۆ داتاشراوەاکان لە گرێیەک یان لە نزیک گرێیەکدا نادروستن. شێوازێک بۆ هەڵسەنگاندنی هەموو ڕێزبەندییەکانی داتاشراوەکانی ڕادەدارەکانی لاگرانج بە شێوەیەکی کارا لە هەموو خاڵەکانی بوارەکادا، بە گرێیەکانیشەوە، گۆڕینی ڕادەدارەکانی لاگرانج بۆ فۆڕمی بنەمای هێز(توان) و پاشان تاقیکردنەوەی داتاشراوەکان.
هەروەها دەتوانرێت فرەژمارەی(ڕادەدارەکانی) لاگرانج لە بواری سنوورداردا حیسابی بۆ بکرێت. ئەمە بەکارهێنانی هەیە لە کریپتۆگرافیدا , وەک لە پلانی هاوبەشکردنی نهێنی شامیر .
ئەلگۆریتمەکەی نێڤڵ
فۆڕمی نیوتنی فرەژمارەی ئینتەرپۆلاسیۆن
ڕادەدارەکانی بێرنشتاین
تیۆرمی کارلسۆن
نەگۆڕی لێبێسگێ
سیستەمی چێبفون
خشتەی زنجیرە نیوتنییەکان
هاوگۆڕاوی فرۆبێنیۆس
فۆرمولەی سیلڤێستەر
ڕێژەی جیاوازی کۆتایی
ئینتەرپۆلاسیۆنی هێرمیت 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\[8mu]&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\vphantom {\Bigg |}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28fcebc5c0f09ab15d904b3c76c60083b3a2036)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\\[10mu]&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f9eb6e3f92fb5b031bbe3a0f2fcc2834cb042e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\\[3mu]x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\\[3mu]x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea731ecebd607939d03f1af637c7dc70d167a6bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={\tfrac {1}{2}},\\[3mu]w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\\[3mu]w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d4a7884aee5c67d2ab29351bfd9ae86cfbfceb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{0}(x)&={\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+3,\\[5mu]\ell _{1}(x)&={\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\\[5mu]\ell _{2}(x)&={\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c47023b84eec7fc182f39ac958e7271498cd53)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=1\cdot {\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}+4\cdot {\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}+9\cdot {\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}\\[6mu]&=x^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85823f6b26a12c40acee99588185334a6c14b864)
![{\displaystyle R(x)=f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]\ell (x)=\ell (x){\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}},\quad \quad x_{0}<\xi <x_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cf7851563959d1b06a7a07782bba6ae42c096b)
![{\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e34bb84b1de65fda77f1fa9dddac063d1f5720)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl [}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\not =(i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\Biggr ]}\\[5mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7f5339a0a09570403bcdcf4176fbdc6871d07b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}''(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{\Biggl [}\sum _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq (i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl (}{\frac {1}{x_{j}-x_{m}}}\prod _{\begin{smallmatrix}n=0\\n\neq (i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}\\[10mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m\leq k}{\frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\\[10mu]&=\ell _{j}(x){\Biggl [}{\Biggl (}\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}{\Biggr )}^{2}-\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{(x-x_{i})^{2}}}{\Biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9f334e0ce26b8fd713e808986bf11888a7899e)
