ماتریکسی هێسیان

لە بیرکاریدا ، ماتریکسی هێسی، هێسی یان (کەمتر باو) ماتریکسی هێس چوارگۆشەیە لە وەرگیراوەکانی بەشەکی پلەی دووەمی نەخشەیەکی (فەنکشنێکی) بەهای سکالار، یان مەیدانی سکالار. باس لە چەماوی ناوخۆیی فەنکشنی چەندین گۆڕەک دەکات. ماتریکسی هێسی لە سەدەی نۆزدەهەمدا لەلایەن بیرکارێکی ئەڵمانی لودڤیگ ئۆتۆ هێسەوە پەرەی پێدراوە و دواتر بە ناوی ئەوەوە ناونراوە. هێس لە سەرەتادا زاراوەی "دیاریکەری کارا"ی بەکارهێناوە. هێسیان هەندێک جار بە H یان بە شێوەیەکی ناڕوون بە ∇ <sup id="mwEg">2</sup> دیاری دەکرێت.

پێناسە و تایبەتمەندییەکان

وایدابنێین $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ فەنکشنێکە کە ڤێکتەرێک $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ وەک پێدراوە وەردەگرێت و دەرچوویەکی سکالار $f(\mathbf {x} )\in \mathbb {R}$ دەگەڕێنێتەوە. ئەگەر هەموو وەرگیراوە بەشەکیە (بەشە گرتە) پلە دووەکانی ... $f$ بوونیان ببێ، ماتریکسی هێسیان $\mathbf {H}$ی $f$، ماتریکسێکی چوارگۆشەی $n\times n$ە، کە زیاتر بەم شێوازە پێناسە دەکرێت و ڕێک‌ دەخرێت $$\mathbf {H} _{f}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.$$ واتە پێدراوەی ڕیزی i و کۆڵەکەی (column) j بەم شێوازەی خوارەوەیە $$(\mathbf {H} _{f})_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.$$

ئەگەر جگە لەوە هەموو وەرگیراوە بەشەکیە دووەمەکان بەردەوام (بێ‌دابڕان) بن، ماتریکسی هێسی ماتریکسێکی هاوسەنگە (symmetric matrix) بە هۆی هاوسەنگی وەرگیراوە دووەمەکانەوە.

دیاریکەری ماتریکسی هێسی پێی دەوترێت دیاریکەری هێسیەن (Hessian determinant) .

ماتریکسی هێسیەنی فەنکشنی $f$ بریتییە لە جێگۆڕدراوی (transpose) ماتریکسی جاکۆبی گرادێنتی فەنکشنی $f$; واتە: $\mathbf {H} (f(\mathbf {x} ))=\mathbf {J} (\nabla f(\mathbf {x} ))^{T}$.

بەکارهێنانەکان

خاڵەکانی وەرچەرخان

ئەگەر $f$ فرەژمارەیەکی یەکسان بێ لە سێ گۆڕەکدا، هاوکێشەی $f=0$ هاوکێشەیەکی ناڕاستەوخۆی چەماوەی دەرهاوێژی ڕووتەختەیە (plane projective curve) . خاڵەکانی وەرچەرخانی چەماوەکە ڕێک ئەو خاڵە ناتاکانەن کە دیاریکەری هێسیان سفرە. بەدوایدا دۆزی (تیۆرمی) بیزۆت دێت کە چەماوەی ڕووتەختەی سێ‌ڕەهەندی ئەوپەڕی $9$ خاڵی وەرچەرخانی هەیە، بەو پێیەی دیاریکەری هێسی فرەژمارەیەکی بە پلەی $3$ یە.

تاقیکردنەوەی وەرگیراوی دووەم

ماتریکسی هێسی فەنکشنێکی چەقاو نیمچە دیاریکراوی ئەرێنییە . پاڵاوتنی ئەم تایبەتمەندییە ڕێگەمان پێدەدات تاقی بکەینەوە کە ئایا $x$ خاڵێکی گرینگە، زۆرترینی ناوخۆییە، یان کەمترینی ناوخۆییە، یان خاڵێکی زینە، بەم شێوەیەی خوارەوە:

ئەگەر هێسیان ئەرێنی-دیار بێت لە $x$دا، ئەو کات $f$ دەگاتە کەمترین ئاستی ناوخۆیی دابڕاو لە $x$دا. ئەگەر هێسیان نەرێنی-دیاریکراو بێت لە $x$دا، ئەو کات $f$ دەگاتە زۆرترین ئاستی ناوخۆیی دابڕاو لە $x$دا. ئەگەر هێسیان هەردوو بەهای تایبەتی ئەرێنی و نەرێنی هەبێت, ئەوا $x$ خاڵێکی زینە بۆ... $f$. ئەگەرنا تاقیکردنەوەکە بێ ئەنجامە. ئەمەش ئەوە دەگەیەنێت کە لە کەمترین ئاستی ناوخۆییدا هێسیان نیمچە دیاریکراوی ئەرێنی و لە زۆرترینی ناوخۆییدا هێسیان نیمچە دیاریکراوی نەرێنییە.

بۆ هێسییە نیمچە دیاریکراوە ئەرێنیەکان و نیمچە دیاریکراوە نەرێنیەکان تاقیکردنەوەکە بێ ئەنجامە (خاڵێکی گرینگ کە هێسیان نیمچە دیاریکراوە بەڵام دیارینەکراوە لەوانەیە هەرەدەرەکیەکی (extermum) ناوخۆیی یان خاڵێکی زین بێت). بەڵام دەتوانرێت لە ڕوانگەی تیۆری مۆرسەوە زیاتر بڵێین.

تاقیکردنەوەی وەرگیراوی دووەم بۆ فەنکشنەکانی یەک یا دوو گوڕەک سادەترە لە حاڵەتی گشتی. لە یەک گۆڕەکدا، هێسیانەکەی یەک وەرگیراوی دووەمی بەتێکڕایی تێدایە؛ ئەگەر ئەرێنی بێت، ئەوا $x$ کەمترینی ناوخۆییە، و ئەگەر نەرێنی بێت، ئەوا $x$ زۆرترینی ناوخۆییە؛ ئەگەر سفر بێت، ئەوا تاقیکردنەوەکە بێ ئەنجامە. لە دوو گۆڕاودا دەتوانرێت دیاریکەر بەکاربهێنرێت، چونکە دیاریکەر بەرهەمی بەها تایبەتەکانە. ئەگەر ئەرێنی بێت، ئەوا بەها تایبەتەکان هەردووکیان ئەرێنین، یان هەردووکیان نەرێنین. ئەگەر نەرێنی بێت، ئەوا دوو بەها تایبەتەکە نیشانەی جیاوازیان هەیە. ئەگەر سفر بێت، ئەوا تاقیکردنەوەی وەرگیراو دووەم بێ ئەنجامە.

بە هەمان شێوە، مەرجەکانی پلە-دووەم کە بەسن بۆ کەمترین یان زۆرترینی ناوخۆیی، دەتوانرێت لە ڕووی زنجیرەی سەرەکی (سەرەوە-چەپترین) بچووکەکان (مینۆرەکان) (دیاریکەرانی ژێر ماتریسەکان)ی هێسیان دەرببڕدرێت؛ ئەم مەرجانە حاڵەتێکی تایبەتن لەوانەی کە لە بەشی داهاتوودا بۆ هێسییە سنووردارکراوەکان بۆ باشکردنی سنووردارکراو دراون- ئەو حاڵەتەی کە ژمارەی سنووردارکەرەکان سفرە. بە تایبەتی، مەرجی بەس بۆ کەمترینێک ئەوەیە کە هەموو ئەم بچووکە سەرەکیانە ئەرێنی بن، لە کاتێکدا مەرجی بەس بۆ زۆرترین ئەوەیە کە بچووکەکان نیشانەکانیان بگۆڕن، کە بچووکی $1\times 1$ەکە نەرێنیە.

خاڵە گرنگەکان

ئەگەر لاری (گرادێنت) (ڤێکتەری وەرگیراوە بەشەکیەکان)ی فەنکشنێکی وەک $f$ لە شوێنێکی وەک $\mathbf {x}$ دا سفر بێت، ئەوکات $f$ لە $\mathbf {x}$ دا خاڵێکی گرنگ (critical point) (یان خاڵی وەستاو (stationary point) )ی هەیە. دیاریکەری هێسیان لە $\mathbf {x}$ لە هەندێک چوارچێوەدا بە جیاکاری ناودەبرێت. ئەگەر ئەم دیاریکەرە سفر بێت ئەوا $\mathbf {x}$ پێی دەوترێت خاڵی هەڵوەشانی گرنگ (degenerate critical point) بۆ $f$، یان خاڵی گرنگی نا-مۆرسی (non-Morse critical point)ی $f$. ئەگەرنا نا-هەڵوەشاوە، و پێی دەوترێت خاڵی گرنگی مۆرسی (Morse critical point) لە $f.$

ماتریکسی هێسیان ڕۆڵێکی گرنگ دەگێڕێت لە تیۆری مۆرس و تیۆری کارەساتدا ، چونکە ناوک و بەها تایبەتەکانی ڕێگە بە پۆلێنکردنی خاڵە گرینگەکان دەدەن.

دیاریکەری ماتریکسی هێسی، کاتێک لە خاڵێکی گرنگی فەنکشنێکدا هەڵدەسەنگێندرێت، یەکسانە بە چەماوی گاوسی ئەو فەنکشنەی کە وەک مانیفۆڵدێک هەژمار دەکرێت. بەها تایبەتەکانی هێسیان لەو خاڵەدا چەماوە سەرەکیەکانی فەنکشنەکەن و ئاراستە-یەکەکان، ئاراستە سەرەکییەکانی چەماوەکەن. (بڕوانە Gaussian curvature § Relation to principal curvatures .)

بەکارهێنان لە باشکردندا (optimization)

ماتریسەکانی هێسیان لە کێشەکانی باشکردنی قەبارە گەورەدا لەناو شێوازەکانی جۆری نیوتندا بەکاردەهێنرێن چونکە ڕێژەی چەمکی چوارگۆشەی فراوانبوونی تایلۆری ناوخۆیی فەنکشنێکن. ئەمە برتیە لە،$$y=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )\approx f(\mathbf {x} )+\nabla f(\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }\Delta \mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\,\Delta \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {H} (\mathbf {x} )\,\Delta \mathbf {x}$$کە $\nabla f$ بریتیە لە لاری (gradient) $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$. بژمێرکردن و هەڵگرتنی ماتریکسی تەواوی هێسیان بیرگەی Θ(x2)ی دەوێت، کە ئەمەش بۆ ئەرکە فرەڕەهەندەکانی وەک فەنکشنە لەدەستدانەکانی تۆڕە دەمارییەکان، مەیدانە هەڕەمەکییە مەرجدارەکان و مۆدێلە ئامارییەکانی تر کە ژمارەیەکی زۆر لە پارامێتەرەکانیان هەیە، ناکارای دەکات. بۆ ئەم جۆرە بارودۆخانە ئەلگۆریتمەکانی کورتکراوەی نیوتن و نیمچە نیوتن پەرەیان پێدراوە. خێزانی دووەمی ئەلگۆریتمەکان نزیکبوونەوە لە هێسیان بەکاردەهێنن؛ یەکێک لە بەناوبانگترین ئەلگۆریتمەکانی نیمچە نیوتن بریتییە لە BFGS.

ئەم جۆرە نزیکبوونەوانە ڕەنگە ئەو ڕاستییە بەکاربهێنن کە ئەلگۆریتمێکی باشکردن تەنیا هێسیان وەک کارپێکەرێکی هێڵی linear operator ، $\mathbf {H} (\mathbf {v} )$، بەکاردەهێنێت، و بەردەوام دەبێت بە تێبینیکردنی ئەوەی کە هێسیانیش سەرەتا لە فراوانبوونی ناوخۆیی گرادێنتیشدا دەردەکەوێت:$$\nabla f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )+\mathbf {H} (\mathbf {x} )\,\Delta \mathbf {x} +{\mathcal {O}}(\|\Delta \mathbf {x} \|^{2})$$

وایدانێین $\Delta \mathbf {x} =r\mathbf {v}$ بۆ هەندێک سکالاری وەک $r$ ، ئەمەش پێمان دەدات $$\mathbf {H} (\mathbf {x} )\,\Delta \mathbf {x} =\mathbf {H} (\mathbf {x} )r\mathbf {v} =r\mathbf {H} (\mathbf {x} )\mathbf {v} =\nabla f(\mathbf {x} +r\mathbf {v} )-\nabla f(\mathbf {x} )+{\mathcal {O}}(r^{2}),$$ ئەمە برتیە لە، $$\mathbf {H} (\mathbf {x} )\mathbf {v} ={\frac {1}{r}}\left[\nabla f(\mathbf {x} +r\mathbf {v} )-\nabla f(\mathbf {x} )\right]+{\mathcal {O}}(r)$$ کەواتە ئەگەر گرادێنتەکە پێشتر بژمێر کرابێت، دەتوانرێت هێسیانی نزیکەیی بە ژمارەیەکی هێڵی (بە قەبارەی گرادێنتەکە) لە کارەکانی سکالار بژمێر بکرێت. (لەکاتێکدا سادەیە بۆ بەرنامەنووسین، ئەم پلانی نزیککردنەوە لە ڕووی ژمارەییەوە جێگیر نییە لەبەر ئەوەی کە $r$ دەبێت بچووک بکرێتەوە بۆ ئەوەی هەڵە بەهۆی ${\mathcal {O}}(r)$ ڕوو نەدات، بەڵام کەمکردنەوەی ئەمە ئەبێتە هۆی وردبینی لەدەستدانەکان لە بەشی یەکەمدا. )

بە تایبەتی سەبارەت بە دۆزەرەوەکانی (Heuristics) گەڕانی هەڕەمەکی، ماتریکسی هاودەگۆڕانی ستراتیژی پەرەسەندن لەگەڵ پێچەوانەی ماتریکسی هێسیان دەگونجێت، تا فاکتەرێکی سکالار و لەرینەوە هەڕەمەکییە بچووکەکان. ئەم ئەنجامە بۆ ستراتیژی تاکە سەرچاوە (single-parent strategy) و مۆدێلێکی وەستاو بە فەرمی سەلمێنراوە، لەگەڵ زیادبوونی قەبارەی ئاپۆرەکە (population)، و بە پشتبەستن بە نزیکبوونەوەی چوارگۆشەیی (quadratic approximation).

بەکارهێنانەکانی تر

ماتریکسی هێسیان بە شێوەیەکی باو بۆ دەربڕینی کارپێکەریەکانی پێواژۆی وێنە لە پێواژۆی وێنە و بینینی کۆمپیوتەردا بەکاردەهێنرێت (بڕوانە دۆزەرەوەی بلۆبی لاپلاسیانی گاوسی (LoG)، دیاریکەری دۆزەرەوەی بلۆبی هێسیان (DoH) و بۆشایی پێوەر ). دەتوانرێت لە شیکاری دۆخی ئاساییدا بەکاربهێنرێت بۆ بژمێرکردنی لەرینەوەی (فرێکوێنسی) گەردیلەییە جیاوازەکان لە سپێکترۆسکۆپی ژێر سووردا . هەروەها دەتوانرێت لە هەستیاری ناوخۆیی و دەستنیشانکردنی ئاماریدا بەکاربهێنرێت.

گشتاندنەکان

هێسیانی سنووردارکراو (Bordered Hessian)

هێسیانی سنووردارکراو بۆ تاقیکردنەوەی وەرگیراوی دووەم لە هەندێک کێشەی باشکردنی سنوورداردا بەکاردەهێنرێت. بە پێدانی فەنکشنی $f$ کە پێشتر لەبەرچاو گیراوە، بەڵام زیادکردنی فەنکشنێکی سنووردارکراوی $g$ بەجۆرێک کە... $g(\mathbf {x} )=c,$ هێسی سنووردارکراو، هێسی فەنکشنی لاگرانجە $\Lambda (\mathbf {x} ,\lambda )=f(\mathbf {x} )+\lambda [g(\mathbf {x} )-c]$:

$$\mathbf {H} (\Lambda )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda ^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda \partial \mathbf {x} }}\\\left({\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \lambda \partial \mathbf {x} }}\right)^{\mathsf {T}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\dfrac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial g}{\partial x_{n}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\dfrac {\partial g}{\partial \mathbf {x} }}\\\left({\dfrac {\partial g}{\partial \mathbf {x} }}\right)^{\mathsf {T}}&{\dfrac {\partial ^{2}\Lambda }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\end{bmatrix}}$$

ئەگەر $m$ سنووردارکەرمان ببێ، ئەوا سفر لە گۆشەی سەرەوەی چەپدا بلۆکێکی $m\times m$ە لە سفرەکان، و $m$ ڕیزی سنووری لە سەرەوە و $m$ کۆڵەکەی سنووری لە لای چەپەوە هەیە.

ئەو یاسایانەی سەرەوە کە باس لەوە دەکەن کە هەرەزۆرەکان (extrema) (لە نێوان خاڵە گرنگەکاندا کە هێسیانێکی ناتاکە) کە بە هێسیانێکی ئەرێنی-دیاریکراو یان نەرێنی-دیاریکراو دیاری دەکرێن، لێرەدا ناتوانرێت جێبەجێ بکرێن لەبەرئەوەی هێسیانێکی سنووردار نە دەتوانێت نەرێنی-دیاریکراو بێت و نە ئەرێنی-دیاریکراو، وەک $\mathbf {z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {H} \mathbf {z} =0$ ئەگەر $\mathbf {z}$ هەر ڤێکتەرێکە کە تاکە پێدراوە ناسفرەکەی یەکەم ڤێکتەریەتی.

تاقیکردنەوەی وەرگیراو دووەم لێرەدا پێکدێت لە سنووردارکردنی نیشانەکانی دیاریکەرانی کۆمەڵەیەکی دیاریکراو لە $n-m$ ژێر ماتریسەکانی هێسیان سنووردار. هەروەها، ئەو $m$ە دەتوانرێت وەکوو کەمکردنەوەی کێشەکە بۆ یەک لەگەڵ $n-m$ گۆڕەکی ئازاد لە بەرچاو بگیردرێت. (بۆ نموونە، زۆرترین‌کردنی $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ بەپێی سنووردارکەری $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ دەتوانرێت کەم بکرێتەوە بۆ زۆرترین‌کردنی $f\left(x_{1},x_{2},1-x_{1}-x_{2}\right)$ بەبێ سنووردارکردن.)

بە تایبەتی، مەرجەکانی نیشانە لەسەر ڕێزی بچووکە سەرەکیە پێشەنگەگان (دیاریکەرەکانی ژێر-ماتریسە درووستەکانی سەرەوە لای چەپ)ی هێسیانی سنووردار دەسەپێندرێت، کە یەکەم $2m$ بچووکە سەرەکییەکانی پێشەنگەکان پشتگوێ دەخرێن، بچووکترین بچووک (minor) پێکدێت لە یەکەمجار-کورتکراوە $2m+1$ ڕیز و کۆڵەکە، ئەوەی دواتر پێکدێت لە یەکەمجار-کورتکراوە $2m+2$ ڕیز و ستوون و هتد، کە دواهەمینیان هەموو هێسە سنووردارەکەیە؛ ئەگەر $2m+1$ گەورەتر بێ لە $n+m,$، ئەوکات بچووکترین مینۆری سەرەکی پێشەنگ خودی هێسیانەکەیە. بەم شێوەیە $n-m$ مینۆری یاسایی هەن بۆ لەبەرچاو گرتن، کە هەریەکەیان لە خاڵە تایبەتەکەدا هەڵسەنگێندراون وەک زۆرترین یان کەمترین کاندید هەژمار دەکرێن. مەرجێکی بەس بۆ هەرەزۆر (maximum)ی ناوخۆیی ئەوەیە کە ئەم مینۆرانە نیشانەکەیان بگۆڕن کە بچووکترینیان نیشانەکەی $(-1)^{m+1}$ە. مەرجێکی بەس بۆ کەمترین (minimum)ی ناوخۆیی ئەوەیە کە هەموو ئەم مینۆرانە نیشانەی $(-1)^{m}$یان ببێ. (لە حاڵەتی بێ سنووری $m=0$ ئەم مەرجانە هاوکاتن لەگەڵ ئەو مەرجانەی کە هێسی بێسنوور لە کاتێکدا دیاریکراوی نەرێنی یان دیاریکراوی ئەرێنی بێت هەر بەو ڕێکە (respectively)).

فەنکشنە بە ئاراستەکەر بەهادارکراوەکان (Vector-valued functions)

ئەگەر $f$ لەبری ئەوە مەیدانی ئاراستەکەر بێ $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ برتیە لە، $$\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left(f_{1}(\mathbf {x} ),f_{2}(\mathbf {x} ),\ldots ,f_{m}(\mathbf {x} )\right),$$ پاشان کۆکردنەوەی وەرگیراوە بەشەکیە دووەمەکان ماتریکسێکی $n\times n$ نیە، بەڵکو تەنسۆرێکی پلە سێیەمە. دەتوانرێت ئەمە وەک ڕیزبەندییەک لە... $m$ ماتریسی هێسیان ببینرێت، کە بۆ هەر پێکهاتەیەک لە $\mathbf {f}$ : $$\mathbf {H} (\mathbf {f} )=\left(\mathbf {H} (f_{1}),\mathbf {H} (f_{2}),\ldots ,\mathbf {H} (f_{m})\right).$$ کاتێک $m=1$، ئەم تەنسۆرە هەڵدەوەشێت بۆ ماتریکسێکی ئاسایی هێسیان.

گشتاندن بۆ دۆخی ئاڵۆز (complex case)

لە چوارچێوەی چەندین گۆڕەکی ئاڵۆزدا ، ڕەنگە هێسیان گشتگیر بکرێت. وای‌دانێین $f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$، و هەروەها $f\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)$. پاشان هێسیان گشتگیر ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\overline {z_{j}}}}}$یە. ئەگەر $f$ مەرجەکانی n-ڕەهەندی کاوشی-ڕیمان تێر بکات، ماتریکسی ئاڵۆزی هێسی بە هەمان شێوە سفرە.

گشتاندنەکان بۆ فرەجۆرە (فرەچەماوە - مانیفۆڵد - manifold) ڕیمانیەکان

با $(M,g)$ مانیفۆڵدێکی ڕیمانی و $\nabla$ پەیوەندی-لیڤیا-سیڤیتاداکەی بێت. با $f:M\to \mathbb {R}$ فەنکشنێکی نەرم بێت. پێناسەی تێنسۆری هێسیەکەی بە$$\operatorname {Hess} (f)\in \Gamma \left(T^{*}M\otimes T^{*}M\right)\quad {\text{ by }}\quad \operatorname {Hess} (f):=\nabla \nabla f=\nabla df,$$کە ئەمە قازانج لەو ڕاستییە وەردەگرێت کە یەکەم وەرگیراوی هاوگۆڕاوی فەنکشنێک هەمان وەرگیراوە ئاساییەکەیەتی. هەڵبژاردنی بەردێلە ناوخۆییکان(coordinates) $\left\{x^{i}\right\}$ دەربڕینێکی ناوخۆیی دەدات بۆ هێسیان وەک$$\operatorname {Hess} (f)=\nabla _{i}\,\partial _{j}f\ dx^{i}\!\otimes \!dx^{j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)dx^{i}\otimes dx^{j}$$کە $\Gamma _{ij}^{k}$ هێماکانی کریستۆفێلن بۆ پەیوەندییەکە. فۆرمە هاوتاکانی تر بۆ هێسیان بەم شێوانەن$$\operatorname {Hess} (f)(X,Y)=\langle \nabla _{X}\operatorname {grad} f,Y\rangle \quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Hess} (f)(X,Y)=X(Yf)-df(\nabla _{X}Y).$$

هەروەها سەیری بکە

• دیاریکەری ماتریکسی هێسی، هاوگۆڕاوە؛ سەیری نەگۆڕاوی فۆرمێکی دووانەیی بکە
• ناسنامەی جەمسەرگیری, بەقازانجە بۆ ژماردنە خێراکان کە هێسییەکان بەکار دەهێنن.
• ماتریکسی جاکۆبیەن (Jacobian matrix)
• هاوکێشەی هێسی (Hessian equation)

خوێندنەوەی زیاتر

• Lewis، David W. (١٩٩١). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ژپنک ٩٧٨-٩٨١-٠٢-٠٦٨٩-٥.
• Magnus، Jan R.؛ Neudecker، Heinz (١٩٩٩). «The Second Differential». Matrix Differential Calculus : With Applications in Statistics and Econometrics (چاپی Revised). New York: Wiley. لاپەڕە ٩٩–١١٥. ژپنک ٠-٤٧١-٩٨٦٣٣-X.

بەستەری دەرەکی

•  
• ئێریک ویستیەن، Hessian لە ماتوۆرڵد.