تیۆرمی دوو مەرج

لە ھەژماری جیاکاری و تەواوکاریدا تیۆرمی دوو مەرج یان تیۆرمی ساندویچ (بە ئینگلیزی: Squeeze theorem) ڕێسایەکی گرینگە سەبارەت بە ڕادەی فانکشنەکان. تیۆرمی دوو مەرج بۆ ھەژمارکردنی ڕادەی فانکشنێک بەکار دێت بە بەراوردکردن لەگەڵ ڕادەی دوو فانکشنی تر کە بەھاکەیان زانراوە. یەکەم جار ئەرەشمیدوس و ئودۆکوس بۆ ھەژمارکردنی ژمارەی پای ($\pi$) ئەم ڕێسایەیان بە شێوەی ئەندازەیی بەکار ھێنا و گاوس بە زاراوەگەلی ئەمڕۆیی ڕێسابەندی کرد.

پێناسە

ئەگەر $f\!$ و $g\!$ و $h\!$سێ فانکشنی پێناسەکراو لەسەر ماوەی I بن و a خاڵێک بێت لە ماوەی Iدا و وا دابنێ بۆ ھەر x کە x≠a لاسەنگەی خوارەوە پاسادان بێت:

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)\,$

و ھەروەھا وا دابنێ

$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.\,$

ئەوا

$\lim _{x\to a}f(x)=L.$

سەلماندن

بە پێی پێناسەی ڕادەی ئینفیمۆم و سوپریمۆم لاسەنگەی خوارەوە پاسادانن

$L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$

کەواتە

$L\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq L,$

نموونە

x² sin(1/x) نموونەی بەکارهێنانی تیۆرمی دوو مەرج

ڕادەی $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ ناتوانرێت بە ڕێسای

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),$

شیکاری بکرێت. لەبەر ئەوەی ڕادەی $\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$ بوونی نییە. بەپێی پێناسەی فانکشنی ساین لاسەنگەی خوارەوە پاسادانە:

$-1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.\,$

کەواتە

$-x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}\,$

چونکە

$\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$،

بە بەکارھێنانی تیۆرمی دوو مەرج $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ ھەروەھا دەکاتە سیفر.

نموونە

بەھای دوو ڕادەی گرینگی خوارەوە بە بەکارھێنانی تیۆرمی دوو مەرج بەدەست دێت. ئەو دوو ڕادەیە لە زۆربەی پەیوەندێکانی سێگۆشەزانی و ھەروەھا ڕێسای لۆپیتاڵدا رۆڵێکی گرینگ دەگێڕن.

${\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}$

سەرچاوەکان

• بەشداربووانی ویکیپیدیا، «Squeeze theorem»، ویکیپیدیای ئینگلیزی. سەردان لە ٣ی کانوونی یەکەمی ٢٠١٨.